Дифференциал (математич.)

Большая Советская Энциклопедия. Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии, очерки, аннотации, описания.


А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 1 2 3 4 8 A L M P S T X
ДА ДВ ДД ДЕ ДЁ ДЖ ДЗ ДИ ДЛ ДМ ДН ДО ДП ДР ДУ ДХ ДЫ ДЬ ДЭ ДЮ ДЯ
ДИА
ДИБ
ДИВ
ДИГ
ДИД
ДИЕ
ДИЖ
ДИЗ
ДИИ
ДИК
ДИЛ
ДИМ
ДИН
ДИО
ДИП
ДИР
ДИС
ДИТ
ДИУ
ДИФ
ДИХ
ДИЦ
ДИЧ
ДИЭ
ДИЯ

Дифференциал (от лат. differentia — разность, различие) в математике, главная линейная часть приращения функции. Если функция y = f (x) одного переменного х имеет при х = х0 производную, то приращение Dy = f (x0 + Dx) -f (x0)

функции f (x) можно представить в виде Dy = f' (x0) Dx + R,

где член R бесконечно мал по сравнению с Dх. Первый член dy = f' (x0) Dх

в этом разложении и называется дифференциалом функции f (x) в точке x0. Из этой формулы видно, что дифференциал dy линейно зависит от приращения независимого переменного Dx, а равенство Dy = dy + R

показывает, в каком смысле Дифференциал (математич.) dy является главной частью приращения Dy.

  Подробнее о Дифференциал (математич.) функций одного и нескольких переменных см. Дифференциальное исчисление.

Обобщение понятия дифференциала. Обобщение понятия Дифференциал (математич.) на вектор-функции, начало которому положили в начале 20 в. французские математики Р. Гато и М. Фреше, позволяет лучше выяснить смысл понятия «дифференциал» для функций нескольких переменных, а в применении к функционалам приводит к понятию вариации, лежащему в основе вариационного исчисления.

  Важную роль в этом обобщении играет понятие линейной функции (линейного отображения). Функция L (x) векторного аргумента х называется линейной, если она непрерывна и удовлетворяет равенству L (x' + х'') = L (x') + L (x'')

для любых х' и х'' из области определения. Линейная функция n-мерного аргумента х = {x1,..., xn} всегда имеет вид L (x) = a1x1 +... + anxn,

где a1,..., an — постоянные. Приращение DL = L (x + h) -L (x)

линейной функции L (x) имеет вид DL = L (h),

т. е. зависит только от векторного приращения h, и притом линейно. Функция f (x) называется дифференцируемой при значении аргумента х, если её приращение Df = f (x + h) -f (x), рассматриваемое как функция от h, имеет главную линейную часть L (h), т. е. выражается в виде Df = L (h) + R (h),

где остаток R (h) при h® 0 бесконечно мал по сравнению с h. Главная линейная часть L (h) приращения Df и называется дифференциалом df функции f в точке x. При этом в зависимости от того, в каком смысле понимается бесконечная малость R (h) по сравнению с h, различают слабый дифференциал, или дифференциал Гато, и сильный дифференциал, или дифференциал Фреше. Если существует сильный Дифференциал (математич.), то существует и слабый Дифференциал (математич.), равный сильному Дифференциал (математич.) Слабый Дифференциал (математич.) может существовать и тогда, когда сильный не существует.

  В случае f (x) ºx из общего определения следует, что df = h, т. е. можно приращение h считать Дифференциал (математич.) аргумента x и обозначать dx.

  Если сделать теперь переменной точку x, в которой определяется Дифференциал (математич.) df, то он будет функцией двух переменных:   df (x; h).

Далее, считая h = h1 постоянным, можно найти Дифференциал (математич.) от дифференциала df (x; h1) как главную часть приращения df (x + h2; h1) — df (x; h1),

где h2 — некоторое второе, не связанное с h1 приращение x. Получаемый таким образом второй дифференциал d2f = d2f (x; h1, h2) является функцией трёх векторных аргументов x, h1 и h2, линейной по каждому из двух последних аргументов. Если d2f непрерывно зависит от x, то он симметричен относительно h1 и h2:   d2f (x; h1, h2) = d2f (x; h2, h1).

  Аналогично определяется дифференциал dnf = dnf (x; h1,..., hn) любого порядка n.

  В вариационном исчислении сам векторный аргумент x является функцией x (t), а дифференциалы df и d2f функционала f [x (t)] называются его первой и второй вариациями и обозначаются df и d2f.

  Всюду выше речь шла об обобщении понятия Дифференциал (математич.) на числовые функции векторного аргумента. Существует обобщение понятия Дифференциал (математич.) и на случай вектор-функций, принимающих значения в банаховых пространствах.

 

  Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 2 изд., М., 1967; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Дифференциал (математич.), Математический анализ, т. 1, М., 1970; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964.

  А. Н. Колмогоров.

Так же Вы можете узнать о...


Побежалость, пёстрая, часто радужная окраска тонкого поверхностного слоя минерала, резко отличающаяся от окраски остальной его массы.
Сапрофаги (от греч. sapros — гнилой и phagos — пожиратель), животные, питающиеся трупами других животных.
Твибер, ледник на южном склоне Главного, или Водораздельного, хребта Большого Кавказа в Грузинской ССР.
Хертогенбос ('sHertogenbosch), город в Нидерландах, при слиянии рр.
Японское письмо, система письма, состоящая из иероглифов (до 15 тыс.
Бешенковичи, посёлок городского типа, центр Бешенковичского района Витебской области БССР, на р.
Гарнизонные школы, низший разряд военно-учебных заведений в России для детей солдат.
Дэлгэр-Мурэн, река в МНР; см. Мурэн.
Кенгуру (животн.) Кенгуру (Macropodinae), подсемейство сумчатых млекопитающих.
Лига Наций, международная организация, имевшая своей целью, согласно уставу, «развитие сотрудничества между народами и гарантию их мира и безопасности», но на деле представлявшая собой орудие политики империалистических держав, в первую очередь Великобритании и Франции.
Надстройки судовые, закрытые помещения на верхней палубе судна, расположенные по его ширине от борта до борта и имеющие различную протяжённость по длине судна.
Пирузян Лев Арамович (р. 16.7.1937, с. Манес, ныне Алаверди Армянской ССР), советский учёный в области медицинской биофизики, член-корреспондент АН СССР (1974).