Комплекс (математическое), одно из основных понятий комбинаторной топологии. Для целей этой науки существенно рассматривать геометрические фигуры разбитыми на более элементарные фигуры. Проще всего составлять геометрические фигуры из симплексов, то есть в случае 3-мерного пространства — из точек, отрезков, треугольников и тетраэдров. В соответствии с этим чаще всего имеют дело с симплициальными Комплекс (матем.)

  Симплициальный Комплекс (матем.) есть конечное множество симплексов, расположенных в некотором евклидовом (или гильбертовом) пространстве и обладающих следующим свойством: два симплекса этого множества или не имеют ни одной общей точки, или совокупность всех их общих точек есть общая грань обоих симплексов. Если в Комплекс (матем.) имеется g-мерный симплекс и нет симплексов большего числа измерений, то Комплекс (матем.) называется g-мерным. Это простейшее понятие подверглось многим обобщениям, идущим в разных направлениях: наряду с только что определенными конечными Комплекс (матем.) можно определить счетные Комплекс (матем.); далее можно от симплициальных Комплекс (матем.) перейти к аналогично определяемым клеточным Комплекс (матем.), элементы которых суть уже непременно симплексы, а любые выпуклые многогранники или даже любые фигуры им гомеоморфные; в последнем случае говорят о «криволинейных» Комплекс (матем.) Обычно рассматривают лишь Комплекс (матем.), удовлетворяющие следующему условию замкнутости: всякая грань симплекса, входящего в данный Комплекс (матем.), также входит в этот Комплекс (матем.) Множество, которое может быть представлено как (теоретико-множественная) сумма симплексов, образующих n-мepный Комплекс (матем.), называется n-мepным полиэдром.

 

  Лит.: Александров П. С., Комбинаторная топология, М.,— Л., 1947; Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1947.