Многогранник в трёхмерном пространстве, совокупность конечного числа плоских многоугольников, такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне); от любого из многоугольников, составляющих Многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, — к смежному с ним, и т. д. Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами Многогранник

  Приведённое определение Многогранник получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник. Если под многоугольником понимают плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся), то приходят к первому определению Многогранник (вопросы, связанные с определяемыми таким образом Многогранник, будут рассмотрены в конце статьи). Основная часть статьи построена на основе второго определения Многогранник, при котором его грани являются многоугольниками, понимаемыми как части плоскости, ограниченные ломаными. С этой точки зрения Многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется Многогранник; отсюда возникает третья точка зрения на Многогранник как на геометрические тела, причём допускается также существование у этих тел «дырок», т. е. — что эти тела не односвязаны.

  Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда грани его тоже выпуклы. Выпуклый Многогранник разрезает пространство на две части — внешнюю и внутреннюю. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого тела многогранная, то соответствующий Многогранник — выпуклый.

  Важнейшие теоремы общей теории выпуклых Многогранник (рассматриваемых как по верхности) следующие.

  Теорема Эйлера (1758): число вершин минус число рёбер плюс число граней выпуклого Многогранник — эйлерова характеристика Многогранник — равно двум; символически: в — р + г = 2.

  Теорема Коши (1812) (в современной форме): если два выпуклых Многогранник изометричны друг другу (т. е. один Многогранник может быть взаимно однозначно отображён на другой Многогранник с сохранением длин лежащих на нём линий), то второй Многогранник может быть получен из первого движением его как жёсткого целого (или движением и зеркальным отражением). Отсюда, в частности, следует, что если грани выпуклого Многогранник жестки, то он сам жёсток, хотя бы его грани были скреплены друг с другом по ребрам шарнирно. Это предполагал верным ещё Евклид и знает всякий, клеивший картонные модели Многогранник, но доказал Коши только через 2000 лет после Евклида.

  Теорема А. Д. Александрова (1939): если взять конечное число плоских выпуклых многоугольников (сделанных, например, из бумаги) и указать, какую сторону какого из них с какой стороной какого другого мы будем склеивать (склеиваемые стороны, конечно, должны быть одинаковой длины), т. е. если рассмотреть развёртку (выкройку) Многогранник, то для того, чтобы так склеенную замкнутую поверхность можно было, соответственно расправив (т. е. изогнув, если нужно, но не растягивая, не сжимая, не разрывая и больше не склеивая), превратить в поверхность выпуклого Многогранник, необходимо и достаточно, чтобы: а) удовлетворялось условие Эйлера в — р + г = 2 и б) чтобы сумма плоских углов, сходящихся при склеивании в одной вершине, для любой вершины была меньше 360°. Эта теорема есть теорема существования, т. е. она показывает, с какими развёртками существуют выпуклые Многогранник, а теорема Коши есть для неё теорема единственности, т. е. она показывает, что существует только один (с точностью до движения и отражения) выпуклый Многогранник с такой развёрткой.

  Теорема (существования) Минковского (1896): существует выпуклый Многогранник с любыми площадями граней и любыми направлениями внешних нормалей к ним, лишь бы сумма векторов, имеющих направления нормалей и длины, равные площадям соответствующих граней, была равна нулю и эти векторы не лежали бы все в одной плоскости. Эти условия необходимы.

  Теорема (единственности) Минковского (1896): выпуклый Многогранник вполне определяется площадями своих граней и направлениями внешних нормалей к ним; и углубляющая её теорема (единственности) А. Д. Александрова: два выпуклых Многогранник с попарно параллельными гранями не равны друг другу только в том случае, если для одной из пар параллельных граней с одинаково направленными внешними нормалями одна из этих граней может быть при помощи параллельного переноса вложена в другую.

  Теорема Штейница (1917): существует выпуклый Многогранник с любой наперёд заданной сеткой. При этом сеткой выпуклого Многогранник называют сетку, составленную его ребрами. Два Многогранник принадлежат к одному и тому же типу, если топологически тождественны сетки их рёбер, т. е. если один из них отличается от другого лишь длиной своих рёбер и величиной углов между ними. Сетку рёбер выпуклого Многогранник можно спроектировать на плоскость из внешней точки, весьма близкой к внутренней точке какой-либо его грани. Сама эта грань спроектируется тогда в виде внешнего выпуклого многоугольника, а все остальные — в виде малых выпуклых многоугольников, которые его заполняют, не налегая друг на друга, и смежны друг с другом целыми сторонами. Тип сетки рёбер Многогранник при таком проектировании не меняется. Число m типов Многогранник с данным числом n граней ограничено, а именно: если n = 4, 5, 6, 7, 8, ..., то m = 1, 2, 7, 34, 257,... На рис. даны сетки всех типов для n = 4, 5, 6.

  Наиболее важны следующие специальные выпуклые Многогранник

  Правильные многогранники (тела Платона) — такие выпуклые Многогранник, все грани которых суть конгруэнтные правильные многоугольники. Все многогранные углы правильного Многогранник правильные и равные. Как это следует уже из подсчёта суммы плоских углов при вершине, выпуклых правильных Многогранник не больше пяти. Указанным ниже путём можно доказать, что существуют именно пять правильных Многогранник (это доказал Евклид). Они — правильные тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр .

  Куб и октаэдр дуальны, т. е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого или обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные Многогранник

  В приведённой ниже таблице указаны радиус описанной сферы, радиус вписанной сферы и объём всех правильных Многогранник (а — длина ребра Многогранник).

  Изоэдры и изогоны. Изоэдром (изогоном) называется такой выпуклый Многогранник, что группа его поворотов (первого и второго, т. е. с отражениями, родов) вокруг центра тяжести переводит любую его грань (вершину) в любую другую его грань (вершину). Каждому изоэдру (изогону) соответствует дуальный изогон (изоэдр). Если Многогранник одновременно и изогон и изоэдр, то он правильный Многогранник Комбинаторно различных изоэдров (изогонов) имеется 13 специальных типов и две бесконечные серии (призмы и антипризмы). Оказывается, что каждый из этих изоэдров может быть реализован так, что все его грани суть правильные многоугольники. Полученные так Многогранник называются полуправильными многогранниками (телами Архимеда).

Радиус описанной сферы	Радиус вписанной сферы	Объём
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр

 

  Параллелоэдры (выпуклые; найдены рус. учёным Е. С. Федоровым в 1881) — Многогранник, рассматриваемые как тела, параллельным перенесением которых можно заполнить всё бесконечное пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой, т. е. образовать разбиение пространства. Таковы, например, куб или правильная 6-угольная призма. Топологически различных сеток рёбер параллелоэдров пять. Число их граней — 6, 8, 12, 12, 14. Для того чтобы Многогранник был параллелоэдром, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым Многогранник одного из пяти указанных топологических типов и чтобы все грани его имели центры симметрии.

  Если параллелоэдры разбиения смежны целыми гранями, разбиение называется нормальным. Центры параллелоэдров такого разбиения образуют решётку, т. е. совокупность всех точек с целыми координатами относительно какой-то, вообще говоря, не прямоугольной декартовой системы координат. Множество точек пространства, из которых каждая отстоит от некоторой данной точки О рассматриваемой решётки L не дальше, чем от всякой другой точки этой решётки, называется областью Дирихле (или областью Вороного) D_oL точки О в решётке L. Область D_oL является выпуклым Многогранник с центром в точке О. Совокупность областей Дирихле всех точек произвольной решётки образует нормальное разбиение пространства. Существует замечательная теорема: произвольное (даже n-мерное) нормальное разбиение на параллелоэдры, в каждой из вершин которого сходится n + 1 параллелоэдр, может быть аффинным преобразованием превращено в разбиение Дирихле для некоторой решётки.

  Всякое движение, переводящее в себя решётку L и оставляющее на месте её точку О, преобразует в себя область D_oL и обратно. Группу всех таких движений называют голоэдрией решётки. Их всего семь: кубическая, ромбоэдрическая, квадратная (или тетрагональная), ортогональная (или ромбическая), моноклинная, триклинная и гексагональная.

  Кристаллографические многогранники. Каждая из семи рассмотренных групп имеет подгруппы, всех различных таких групп и их подгрупп 32; их называют кристаллографическими классами. Пусть какой-нибудь кристаллографический класс есть подгруппа некоторой голоэдрии, тогда говорят, что он принадлежит этой голоэдрии (или входит в состав её сингонии), если этот класс не является подгруппой никакой голоэдрии, содержащейся в данной. Если взять плоскость, не проходящую через точку О, и подвергнуть её всем поворотам какого-нибудь кристаллографического класса, то полученные плоскости ограничивают либо некоторый изоэдр с центром в точке, либо бесконечное выпуклое призматическое тело, либо многогранный угол. Полученные тела называются простыми формами кристаллов, в первом случае замкнутыми, во втором и третьем — открытыми. Две простые формы считают одинаковыми, если они имеют один и тот же комбинаторный тип, порождены одним и тем же кристаллографическим классом и повороты этого класса одинаковым образом связаны с формой. Существует 30 различных в этом смысле замкнутых форм и 17 открытых, каждая из них имеет вполне определённое название (см. Кристаллы).

Основываясь на первом (указанном в начале статьи) определении Многогранник, можно указать ещё четыре правильных невыпуклых многогранника (т. н. тела Пуансо), впервые найденных французским математиком Л. Пуансо в 1809. Доказательство несуществования других невыпуклых правильных Многогранник дал французский математик О. Коши в 1811. В этих Многогранник либо грани пересекают друг друга, либо сами грани — самопересекающиеся многоугольники. Для изучения вопросов, связанных с площадями поверхностей и объёмами таких Многогранник, удобно пользоваться именно первым определением Многогранник

  Если у Многогранник можно так ориентировать грани, чтобы каждое ребро в тех двух гранях, которые смежны по этому ребру, имело бы обратные направления, то его называют ориентируемым, в противном случае — неориентируемым. Для ориентируемого Многогранник (даже если он самопересекающийся и его грани — самопересекающиеся многоугольники) можно ввести понятия площади поверхности и величины объёма. Площадью ориентируемого Многогранник называют просто сумму площадей его граней (об определении площади самопересекающегося многоугольника см. Многоугольник). Для определения объёма надо заметить, что совокупность внутренних кусков граней Многогранник разрезает пространство на определённое число связных кусков, из которых один по отношению к Многогранник бесконечный (внешний), а остальные конечные (внутренние). Если из внешней по отношению к Многогранник точки провести отрезок в какую-либо внутреннюю точку внутреннего куска, то сумму «коэффициентов» тех внутренних кусков граней Многогранник, которые пересечёт этот отрезок, называют коэффициентом рассматриваемого внутреннего куска Многогранник (она не зависит от выбора внешней точки О); такой коэффициент есть целое положительное, отрицательное число или нуль. Сумму обычных объёмов всех внутренних кусков Многогранник, умноженных на эти их коэффициенты, называют объёмом Многогранник

  Можно рассматривать и n-мерные Многогранник Некоторые из указанных определений и теорем имеют n-мерное обобщение. В частности, найдены все выпуклые правильные Многогранник; при n = 4 их оказалось 6, а при всех больших n всего три: обобщение тетраэдра, куба и октаэдра. В то же время, например, неизвестны все четырёхмерные изоэдры и изогоны.

  Примеры нерешенных задач теории многогранников.

  1) Немецкий математик Э. Штейниц дал примеры того, что не для всякого топологического типа сетки рёбер выпуклого Многогранник существует Многогранник, который можно описать вокруг шара; в общем виде задача не решена.

  2) Параллелоэдры суть выпуклые основные области групп параллельных переносов, но до сих пор не определены основные типы стереоэдров, т. е. выпуклых основных областей произвольных (федоровских) дискретных групп движений. 3) Определение всех типов четырёхмерных изоэдров.

 

  Лит.: Фёдоров Е. С., Начала учения о фигурах, СПБ, 1885; Александров А. Д., Выпуклые многогранники, Многогранник — Л., 1950; Вороной Г. Ф., Собр. соч., т. 2, К., 1952; Brückner Многогранник, Vielecke und Vielflache. Theorie und Geschichte, Lpz., 1900; Steinitz E., Vorlesungen liber die Theorie der Polyeder unter Einschiuss der Elemente der Topologie..., B., 1934; Coxeter H. S. Многогранник, Regular polytopes, 2 ed., L. — N. Y., 1963.

Правильные невыпуклые многогранники (тела Пуансо).

  Б. Н. Делоне.

Полуправильные многогранники (тела Архимеда).