Линейное уравнение

Большая Советская Энциклопедия. Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии, очерки, аннотации, описания.


А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 1 2 3 4 8 A L M P S T X
ЛI ЛА ЛЕ ЛЁ ЛЖ ЛИ ЛЛ ЛО ЛУ ЛХ ЛЧ ЛЫ ЛЬ ЛЭ ЛЮ ЛЯ
ЛИА
ЛИБ
ЛИВ
ЛИГ
ЛИД
ЛИЕ
ЛИЗ
ЛИЙ
ЛИК
ЛИЛ
ЛИМ
ЛИН
ЛИО
ЛИП
ЛИР
ЛИС
ЛИТ
ЛИУ
ЛИФ
ЛИХ
ЛИЦ
ЛИЧ
ЛИШ

Линейное уравнение, уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени (т. е. линейно) и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Несколько Линейное уравнение относительно одних и тех же неизвестных образуют систему Линейное уравнение Решением системы Линейное уравнение называют набор чисел c1, c2, ..., cn, обращающих все уравнения в тождества после подстановки их вместо соответствующих неизвестных. Система Линейное уравнение может иметь как одно единственное решение, так и бесконечное множество решений (неопределённая система); может также оказаться, что система Линейное уравнение не имеет ни одного решения (несовместная система).

  Чаще всего встречается случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Одно Линейное уравнение с одним неизвестным имеет вид:

  ax = b;

  решением его при а ¹ 0 будет число b/a. Система двух Линейное уравнение с двумя неизвестными имеет вид:

   (1)

  где a11, a12, a21, a22, b1, b2— какие-либо числа. Решение системы (1) можно получить с помощью определителей:

  ,

  ;

  здесь предполагается, что стоящий в знаменателе определитель  отличен от нуля. В числителях стоят определители, получающиеся из D заменой в нём одного столбца столбцом свободных членов b1, b2; в выражении для первого неизвестного x1 заменяется первый столбец, а в выражении для второго неизвестного x2 — второй.

  Аналогичное правило применимо и при решении любой системы и Линейное уравнение с n неизвестными, т. е. системы вида:

   (2)

  здесь aij и bi (i, j = 1, 2, ..., n) — произвольные числовые коэффициенты; числа b1, b2, ..., bn называют обычно свободными членами. Если определитель D = ½aij½ системы (2), составленный из коэффициентов aij при неизвестных, отличен от нуля, то решение получается следующим образом: k-e (k = 1, 2, ..., n) неизвестное xk равно дроби, в знаменателе которой стоит определитель D, а в числителе — определитель, полученный из D заменой в нём столбца из коэффициентов при отыскиваемом неизвестном (к-го столбца) столбцом свободных членов b1, b2, ..., bn. Если D = 0, то система (2) либо не имеет ни одного решения, либо имеет бесконечное множество решений.

  Если все bi = 0 (систему Линейное уравнение называют в этом случае однородной), то при D¹ 0 решение системы (2) будет нулевым (т. е. все xk = 0). В практике часто, однако, встречаются однородные системы Линейное уравнение с числом уравнений на 1 меньше числа неизвестных, т. е. системы вида:

   (3)

  Решение такой системы неоднозначно; из неё, как правило, можно найти только отношение неизвестных:

  x1 : x2 : ... : xn = D1 : D2 : ... : Dn,

где Dn — умноженный на ( — 1)k определитель, полученный из матрицы коэффициентов aij системы (3) вычёркиванием какого-то столбца (это правило применимо только тогда, когда хотя бы один из определителей Di отличен от 0).

  Впервые решение систем (2) было получено Г. Крамером в 1750; правило для нахождения решения этих систем носит до сих пор название правила Крамера. Построение полной теории систем Линейное уравнение было закончено только спустя 100 лет Л. Кронекером.

Общая система m Линейное уравнение с n неизвестными имеет вид:

   (4)

  Вопрос о совместности системы Линейное уравнение (4), т. е. вопрос о существовании решения, решается сравнением рангов матриц

 

  и

 

  Если ранги совпадают, то система совместна; если ранг матрицы В больше ранга матрицы Л, то система несовместна (теорема Кронекера — Капелли). В случае совместности системы, её решения можно найти следующим образом. Найдя в матрице А отличный от нуля минор наибольшего порядка г, отбрасывают m — r уравнений, коэффициенты которых не вошли в этот минор (отбрасываемые уравнения будут следствиями оставшихся, и поэтому их можно не рассматривать); в оставшихся уравнениях переносят направо те неизвестные, коэффициенты которых не вошли в выбранный минор (свободные неизвестные). Придав свободным неизвестным любые числовые значения, получают систему из r уравнений с r неизвестными, которую можно решить по правилу Крамера. Найденные значения r неизвестных вместе со значениями свободных неизвестных дадут некоторое частное (т. е. одно из многих возможных) решение системы (4). Можно, не давая свободным неизвестным конкретных значений, непосредственно выразить через них остальные неизвестные. Так получается общее решение, т. е. решение, в котором неизвестные выражены через параметры; давая этим параметрам произвольные значения, можно получить все частные решения системы.

  Однородные системы Линейное уравнение можно решать таким же способом. Решения их обладают тем свойством, что сумма, разность и вообще любая линейная комбинация решений (рассматриваемых как n-мерные векторы) также будет решением системы. Другими словами: совокупность всех решений однородной системы Линейное уравнение образует линейное подпространство n-мерного векторного пространства. Систему решений, которые сами линейно независимы и позволяют выразить любое другое решение в виде их линейной комбинации (т. е. базис линейного подпространства), называют фундаментальной системой решений однородной системы Линейное уравнение

  Между решениями системы Линейное уравнение (4) и соответствующей однородной системы Линейное уравнение (т. е. уравнений с теми же коэффициентами при неизвестных, но со свободными членами, равными нулю) существует простая связь: общее решение неоднородной системы получается из общего решения однородной системы прибавлением к нему какого-либо частного решения неоднородной системы Линейное уравнение

  Большой наглядности изложения в теории Линейное уравнение можно добиться, используя геометрический язык. Привлекая при этом к рассмотрению линейные операторы в векторных пространствах (рассматривая уравнения вида Ax = b, А — линейный оператор, х и b — векторы), легко установить связь рассматриваемых алгебраических Линейное уравнение с Линейное уравнение в бесконечномерных пространствах (системы Линейное уравнение с бесконечным числом неизвестных), в частности с Линейное уравнение в функциональных пространствах, например линейные дифференциальные уравнения, линейные интегральные уравнения (см. Интегральные уравнения) и др.

  Применение правила Крамера при практическом решении большого числа Линейное уравнение может встретить значительные трудности, т. к. нахождение определителей высокого порядка связано со слишком большими вычислениями. Были поэтому разработаны различные методы численного (приближённого) решения систем Линейное уравнение (см. Численное решение уравнений).

 

  Лит.: Энциклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 2, М. — Л., 1951; Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М. — Л., 1963.

Так же Вы можете узнать о...


Селенология (от греч. selene — Луна и ...логия), научная дисциплина, посвященная изучению строения и химико-минералогического состава Луны.
Таганай, Большой, горный хребет в Южном Урале, в Челябинской области РСФСР.
Ферма (технич.) Ферма (франц. ferme, от лат. firmus – крепкий, прочный), несущая конструкция, состоящая из прямолинейных стержней, узловые соединения которых при расчёте условно принимаются шарнирными.
Шанфара, аш- (рубеж 5—6 вв.), арабский поэт (юго-запад Центральной Аравии), один из «салуков» — «изгоев» древнеарабского общества (представителей бедноты, оказывавшихся в условиях разложения родоплеменного строя вне племени).
Аксёново, кумысолечебный курорт и ж.-д. станция в Башкирской АССР.
Бернские Альпы, Бернский Оберланд (Berner Oberland), горная группа западных Альп в Швейцарии, к В.
Война за независимость испанских колоний в Америке 1810-26 Война за независимость испанских колоний в Америке 1810—26, освободительная война народов Испанской Америки против испанского господства.
Гурко Василий Иосифович Гурко, Ромейко- [8(20).
Земские соборы, центральные сословно-представительские учреждения России в середине 16—17 вв.
Кикуйю (народ в Кении) Кикуйю, агикуйю, гикуйю, народ, живущий в центральной части Кении.
Лазовск, посёлок городского типа, центр ого района Молдавской ССР, в 26 км от железнодорожной станции Бельцы.
Мессенхаузер Венцель Мессенхаузер (Messenhauser) Венцель (4.1.1813, Просниц, ныне Простеёв, Чехословакия, — 16.
Обермайер Хуго Обермайер (Obermaier) Хуго (29.1.1877, Регенсбург, — 12.
Подсвилье, посёлок городского типа в Глубокском районе Витебской области БССР.
Ростропович Мстислав Леопольдович (р. 27.3.1927, Баку), советский виолончелист, народный артист СССР (1966).
Спафарий Николай Гаврилович (Милеску Николае Спэтарул) (1636, Милешты, ныне Румыния, — 1708), учёный и дипломат.
Трудоспособное население, население, способное по своим физическим возможностям полноценно участвовать в общественном труде.