Неявные функции

Большая Советская Энциклопедия. Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии, очерки, аннотации, описания.


А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 1 2 3 4 8 A L M P S T X
НА НГ НД НЕ НЁ НЗ НИ НК НО НР НС НУ НЧ НЫ НЬ НЭ НЮ НЯ
НЕА
НЕБ
НЕВ
НЕГ
НЕД
НЕЕ
НЕЖ
НЕЗ
НЕИ
НЕЙ
НЕК
НЕЛ
НЕМ
НЕН
НЕО
НЕП
НЕР
НЕС
НЕТ
НЕУ
НЕФ
НЕХ
НЕЧ
НЕШ
НЕЯ

Неявные функции, функции, заданные соотношениями между независимыми переменными, не разрешенными относительно последних; эти соотношения являются одним из способов задания функции. Например, соотношение   x2 + y2 1 = 0

задаёт Неявные функции   y = у (х),

соотношения   x = rcosjsinJ, y = rsinjsinJ, z = rcosJ

задают Неявные функции:   r = r(x, у,z), j = j(x, y, z), J = J(х, у, z).

В простейших случаях соотношения, задающие Неявные функции, могут быть разрешены в классе элементарных функций, т. е. удаётся найти элементарные функции, удовлетворяющие этим соотношениям. Так, в первом из приведённых выше примеров имеем:

а во втором:

Вообще же таких элементарных функций найти не удаётся. Неявные функции могут быть как однозначными, так и многозначными. Не всякое соотношение (или система соотношений) между переменными задаёт Неявные функции Так, если ограничиваться лишь действительными значениями переменных, то соотношение x2 + y2 + 1 = 0 не задаёт Неявные функции, так как не удовлетворяется ни одной парой действительных значений х и у; соотношение же exy = 0 вообще не удовлетворяется ни одной парой действительных или комплексных значений х и у. Теорема существования Неявные функции в её простейшей формулировке утверждает, что если функция F (x, y) обращается в нуль при паре значений х = x0, у = y0[F (x0, y0) ¹ 0] и дифференцируема в окрестности точки (x0, y0), причём F’x(х, у) и F’y(х, у) непрерывны в этой окрестности и F’y (x0, y0) ¹ 0, то в достаточно малой окрестности точки x0 существует одна и только одна однозначная непрерывная функция у = у (х), удовлетворяющая соотношению F (x, y) = 0 и обращающаяся в y0 при x = x0; при этом y'(x) = —F’x (x, y)/F’y (x, у).

Для приближённого вычисления значений Неявные функции вблизи точки x0, где её значение y0 уже известно, широко применяются степенные ряды. Так, если F (x, у) — аналитическая функция [т. е. может быть разложена в окрестности точки (x0, y0) в сходящийся двойной степенной ряд] и F’y (x0, y0) ¹ 0, то Неявные функции, заданная соотношением F (x, y) = 0, может быть получена в виде степенного ряда

сходящегося в некоторой окрестности точки х = х0. Коэффициенты ck, k = 1, 2,..., могут быть найдены либо подстановкой этого ряда в соотношение F (x, у) = 0, либо последовательным дифференцированием этого соотношения по х. Например, если Неявные функции задана соотношением   y5 + xy 1 = 0, x0 = 0, y0 = 1,

то

и

откуда c0 = 1, c1 = —1/5c0-3, c2 = —2c12c0-11/5c1c0-4 = —1/25 и т.д.

  Если соотношение F (x, у) = 0 может быть представлено в виде у = а + хj(у), где j(y) — аналитическая функция, то Неявные функции у = у (х), заданная этим соотношением и принимающая значение а при х = 0, разлагается в ряд Лагранжа

сходящийся в некоторой окрестности точки х = 0. Например, из соотношения у = а + xsiny (так называемое Кеплера уравнение) можно получить:

  Вычисление значений Неявные функции в общем случае может быть произведено по методу последовательных приближений.

 

  Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 1, 22 изд., М., 1967; т. 3, ч. 2, 8 изд., М., 1969; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 2, М., 1970.

 

 

Так же Вы можете узнать о...


Уэлленд (Welland), город в Канаде, на Ю. провинции Онтарио, на судоходном (ском) канале между озёрами Онтарио и Эри в обход реки и водопада Ниагара.
Центральный спортивный клуб армии (ЦСКА), спортивное учреждение Вооруженных Сил СССР, созданное в 1923 в Москве как Опытно-показательная площадка Всевобуча (ОППВ); с 1928 — ЦДКА, с 1953 — ЦСК МО СССР (Центральный спортклуб министерства обороны СССР), с 1963 — ЦСКА.
Электрофон (от электро... и ...фон), бытовое устройство для воспроизведения звука с граммофонной пластинки; в принципиальном отношении отличается от граммофона тем, что в Э.
Аммония нитрат, то же, что аммиачная селитра.
Бельэтаж (от франц. bel — прекрасный и etage — этаж),
Венгеро-польский договор 1948 О дружбе, сотрудничестве и взаимной помощи, подписан 18 июня в Варшаве со стороны ПНР председателем Совета Министров Ю.
Геоид (греч. geoeides, от ge — Земля и eidos — вид), фигура, которую образовала бы поверхность Мирового океана и сообщающихся с ним морей при некотором среднем уровне воды, свободной от возмущений приливами, течениями, разностями атмосферного давления и т.
Деперье Бонавантюр Деперье (Desperiers, Des Periers) Бонавантюр (около 1500, Арне-ле-Дюк, Бургундия, — 1543 или 1544), французский писатель-гуманист.
Зеленин Дмитрий Константинович [21.10(2.11).
Карбонилы металлов, соединения металлов с окисью углерода общей формулы Mem(CO)n.
Коричное полосатое, старинный осенний русский сорт яблони.
Лизоцим (от греч. lysis — растворение, распад и zyme — закваска), мурамидаза, фермент класса гидролаз; разрушает стенку бактериальной клетки, в результате чего происходит её растворение (лизис).
Металлургическая печь, тепловой агрегат для выплавки металлов и сплавов, нагрева слитков и заготовок перед прокаткой, термической обработки прокатной продукции и др.
Нефертити (древнеегип. — «Красавица грядет»), древнеегипетская царица (конец 15 — начало 14 вв.