Фигуры равновесия, геометрической конфигурации, которые может принять жидкая масса, находясь в положении относительного равновесия (под относительным равновесием обычно понимают установившееся движение жидкости, при котором вся масса жидкости движется таким образом, что расстояния между её частицами остаются постоянными). Рассматривают движение жидкости либо только в собственном гравитационном поле, либо под действием этого поля и, сверх того, притяжения др. внешних тел. В теории Фигуры равновесия изучаются две основные, тесно связанные между собой проблемы: существование тех или иных Фигуры равновесия вращающихся жидкостей и устойчивость Фигуры равновесия, подверженных влиянию малых возмущений.

  Теория Фигуры равновесия зародилась в 17 в., однако и во 2-й половины 20 в. она далека от своего завершения. Наиболее полные результаты принадлежат А. М. Ляпунову, который впервые построил точную математическую теорию Фигуры равновесия вращающейся жидкости (однородной и неоднородной) и получил ряд результатов в теории устойчивости простейших Фигуры равновесия (т. н. эллипсоидов Маклорена и Якоби), и А. Пуанкаре, доказавшему, в частности, что относительное равновесие однородной жидкости возможно только в том случае, когда угловая скорость вращения (меньше величины , где f – постоянная тяготения, r – плотность жидкости,  – т. н. предел Пуанкаре. Если на однородную несжимаемую покоящуюся жидкую массу не действуют никакие внешние силы, то её единственной Фигуры равновесия является сфера. Фигуры равновесия однородной жидкости во всех случаях симметричны относительно плоскости, проходящей через её центр инерции перпендикулярно оси вращения, а всякая прямая, параллельная оси вращения, пересекает поверхность жидкости не более чем в двух точках. Наиболее изученными Фигуры равновесия однородной несжимаемой вращающейся жидкости являются эллипсоидальные Фигуры равновесия: эллипсоиды вращения и трёхосные эллипсоиды. Эти Фигуры равновесия образуют семейства поверхностей (линейные серии), непрерывно зависящие от величины угловой скорости w, изменяющейся между нулём и величиной, меньшей . Эллипсоидальные Фигуры равновесия математически описываются алгебраическими поверхностями 2-го порядка. Приближённое решение проблемы существования Фигуры равновесия, описываемых алгебраическими поверхностями более высокого порядка, дал Пуанкаре, а строгое решение – Ляпунов, доказавший, что существуют Фигуры равновесия, близкие к эллипсоидальным, описываемые алгебраическими поверхностями порядка, большего 2. Т. о. была решена задача об устойчивости эллипсоидальных фигур при малых деформациях конфигурации.

  Большое прикладное значение имеет теория Фигуры равновесия жидкости, испытывающей притяжение внешних сил. В статической модели, когда покоящаяся жидкость притягивается достаточно удалённой материальной точкой, доказано существование вытянутых в направлении притягивающей точки эллипсоидальных Фигуры равновесия (приливных эллипсоидов). Наибольшие приложения в астрономии получила проблема Роша и её обобщения, устанавливающая существование эллипсоидальных (или близких к ним) Фигуры равновесия однородной вращающейся жидкой массы, которая притягивается материальной точкой, совершающей круговые движения около центра масс жидкости с той же угловой скоростью. Эти механические модели положены в основу теории приливной эволюции, теории форм звёзд, составляющих двойную систему, теории фигур планет. Приближённая теория устойчивости Фигуры равновесия небесных тел разработана Дж. Дарвином и Дж. Джинсом.

 

  Лит.: Субботин М. Ф., Курс небесной механики, т. 3, М. – Л., 1949; Чандрасекхар С., Эллипсоидальные фигуры равновесия, пер. с англ., М., 1973.

  Е. А. Гребеников.