Фурье интеграл, формула для разложения непериодической функции на гармонические компоненты, частоты которых пробегают непрерывную совокупность значений. Если функция f (x) удовлетворяет на каждом конечном отрезке условию Дирихле (см. Фурье ряд) и если сходится ,

то .     (1)

  Эта формула впервые встречается при решении некоторых задач теплопроводности у Ж. Фурье (1811), но её доказательство было дано позже другими математиками. Формулу (1) можно представить также в виде ,     (2)

где ; .

  В частности для чётных функций ,

где .

  Формулу (2) можно рассматривать как предельную форму ряда Фурье для функций, имеющих период 2T, когда Т®¥. При этом а (u) и b (u) аналогичны коэффициентам Фурье функции f (x). Употребляя комплексные числа, можно заменить формулу (1) формулой .

  Формулу (1) можно преобразовать также к виду      (3)

(простой интеграл Фурье).

  Если интегралы в формулах (2), (3) расходятся (см. Несобственные интегралы), то во многих случаях их можно просуммировать к f (x) при помощи того или иного метода суммирования. При решении многих задач используются формулы Фурье интеграл для функций двух и большего числа переменных.

 

  Лит.: Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М. — Л., 1948.