Двойной ряд

Большая Советская Энциклопедия. Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии, очерки, аннотации, описания.


А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 1 2 3 4 8 A L M P S T X
ДА ДВ ДД ДЕ ДЁ ДЖ ДЗ ДИ ДЛ ДМ ДН ДО ДП ДР ДУ ДХ ДЫ ДЬ ДЭ ДЮ ДЯ
ДВА
ДВЕ
ДВИ
ДВО
ДВУ

Двойнойряд, выражение вида u11+ u12+ ... + u1n+ ... + u21 + u22 + ... + u2n + ... .................................... + um1+ um2 + ... + umn+ ... .....................................,

составленное из элементов бесконечной матрицы ||umn|| (m, n = 1, 2, ...); эти элементы могут быть числами (тогда Двойной ряд р. называются числовым), функциями от одного или нескольких переменных (функциональный Двойной ряд р.) и т. д. Для Двойной ряд р. принята сокращённая запись

umn называется общим членом Двойной ряд р.

Конечные суммы

называются частичными суммами Двойной ряд р. Если существует предел

когда m и n независимо друг от друга стремятся к бесконечности, то этот предел называется суммой Двойной ряд р. и Двойной ряд р. называются сходящимся. Теория сходимости Двойной ряд р. значительно сложнее соответствующей теории для простых рядов; например, в отличие от простых рядов, из сходимости Двойной ряд р. не вытекает, что его частичные суммы ограничены.

  Выражение

называется повторным рядом. Его надо понимать в том смысле, что сначала вычисляются суммы

всех внутренних рядов, а затем рассматривается ряд

составленный из этих сумм. Если повторный ряд (1) сходится и имеет сумму S, то её называют суммой Двойной ряд р. по строкам. Аналогично определяется сумма S' Двойной ряд р. по столбцам. Из сходимости Двойной ряд р. не вытекает, что сходятся внутренние Ряды

так что суммы по строкам и по столбцам могут и не существовать. Напротив, если Двойной ряд р. расходится, то может оказаться, что существуют суммы по строкам и по столбцам и S¹S'. Однако, если Двойной ряд р. сходится и имеет сумму S и существуют суммы по строкам и по столбцам, то каждая из этих сумм равна S. Это обстоятельство постоянно используется при фактическом вычислении суммы Двойной ряд р.

  Наиболее важными классами Двойной ряд р. являются двойные степенные ряды, двойные ряды Фурье и квадратичные формы с бесконечным числом переменных. Для Двойной ряд р. Фурье

одним из стандартных пониманий суммы таких рядов является следующее: образуются круговые (или сферические) частичные суммы

где суммирование распространяется на всевозможные пары целых чисел (m, n), для которых m2 + n2<N, и рассматривается предел  этот предел называется сферической суммой Двойной ряд р. Фурье (2). Многие важные функции изображаются с помощью Двойной ряд р., например эллиптическая функция Вейерштрасса.

  Кратный ряд (точнее, s-кpaтный ряд) есть выражение вида Sm, n, …, pumn … q,

составленное из членов таблицы ||umn...p||. Каждый член этой таблицы занумерован s индексами m, n, ..., р, и эти индексы пробегают независимо друг от друга все натуральные числа. Теория кратных рядов совершенно аналогична теории Двойной ряд р.

 

  Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 6 изд., т. 2, М., 1966.

  С. Б. Стечкин.

 

Так же Вы можете узнать о...


Объективизм, мировоззренческая позиция, в основе которой лежит ориентация познания на социально-политическую «нейтральность» и на воздержание от социально-критических оценок, суждений о ценностях и целях идеологически значимых проблем, а особенно от партийных выводов (см.
Орёл-городок, Кергедан, древняя русская крепость на левом берегу р.
Палладин Александр Владимирович [29.8 (10.9).
Первозвери (Prototheria), подкласс млекопитающих; представлен одним отрядом — клоачные.
Пителино, посёлок гор. типа, центр Пителинского района Рязанской обл.
Полипропилен, термопластичный полимер пропилена, [—CH2—CH (CH3)—] n; бесцветное кристаллическое вещество изотактической структуры, молекулярная масса Предгорные лестницы, выровненные поверхности, расположенные в виде ступеней по окраинам наиболее высокой и расчленённой центральной части горной страны.
Прыгунчики (Macroscelididae) семейство млекопитающих отряда насекомоядных, некоторые зоологи выделяют П.
Ракета-носитель, многоступенчатая (2—4 ступени) баллистическая ракета для выведения в космос искусственных спутников Земли, автоматических межпланетных станций, космических кораблей, орбитальных станций и др.
Речной транспорт

, вид транспорта, осуществляющий перевозки пассажиров и грузов в основном по внутренним водным путям, как естественным (реки, озёра), так и искусственным (каналы, водохранилища, шлюзованные участки рек).