Линейное пространство, тоже, что векторное пространство. В функциональном анализе рассматриваются главным образом бесконечномерные пространства. Примером бесконечномерного Линейное пространство может служить пространство всех многочленов (с вещественными или комплексными коэффициентами) при обычном определении сложения и умножения на числа. Одним из первых примеров бесконечного Линейное пространство были гильбертово пространство и пространство С [а, b] непрерывных функций, заданных на отрезке [а, b]. Эти пространства являются нормированными, т. е. такими Линейное пространство, в которых введена норма элемента х — неотрицательное число , обращающееся в нуль лишь при х = 0 и обладающее свойствами  и  (неравенство треугольника). Число  называют расстоянием между элементами х и у (см. также Метрическое пространство). В нормированном Линейное пространство вводятся понятия открытого шара, предельной точки множества, непрерывности функционала аналогично тому, как это делается в трёхмерном пространстве.

  В конечномерном пространстве различные нормы топологически равносильны: последовательность точек, сходящихся при одной норме, сходится и при любой другой. В бесконечномерных пространствах нормы могут быть существенно различны. Например, при решении задачи П. Л. Чебышева о разыскании многочлена, наименее уклоняющегося от нуля (задачи о наилучшем приближении), надо найти такой многочлен (k — 1)-й степени P_k-i(t), чтобы

 

  имел наименьшее значение. Вводя в пространство С[0,1] норму формулой =  

  эту задачу можно сформулировать следующим образом: требуется найти многочлен P_k-i(t), расстояние которого от функции t* было бы наименьшим. При рассмотрении же многочленов, ортогональных с весом p(t) (см. Ортогональная система функций), естественно рассматривать норму, определённую формулой ,

  и решать задачу о наилучшем приближении в смысле этой нормы. Нормы  и  существенно различны, так как, например, последовательность функций

  по первой норме расходится, а по второй норме при p(t) = 1 сходится к функции .

  Следует отметить, что хотя все функции x_n(t) были непрерывны, функция x(t) разрывна. Это связано с тем, что пространство непрерывных функций неполно относительно нормы . При этом нормированное Линейное пространство называется полным, если для любой последовательности {x_n} его элементов, удовлетворяющих условию ,

  существует в Линейное пространство такой элемент х, что данная последовательность сходится к нему, т. е. ,

  Если Линейное пространство неполно, то к нему можно присоединить новые элементы (пополнить его) так, что оно станет полным. Например, пополняя пространство непрерывных функций, взятое с нормой , получают гильбертово пространство L²_p. Полные нормированные Линейное пространство называется банаховыми, или В-пространствами, — по имени изучившего их основные свойства С. Банаха.

Обобщением понятия B-пространства является понятие топологического Линейное пространство Так, называют множество Е, если: 1) оно представляет собой Линейное пространство, 2) оно является топологическим пространством, 3) операции сложения и умножения на числа в Е непрерывны относительно заданной в Е топологии. К числу топологического Линейное пространство относятся все нормированные пространства. А. Н. Колмогоров установил (1934) необходимые и достаточные условия нормируемости топологического Линейное пространство

 

  Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965.