Сопряжённые функции, функции u (х, у), u(x, у) двух переменных х и у, связанные в некоторой области D условиями Коши — Римана (см. Коши—Римана уравнения);

  ; .

При определённых условиях, например при непрерывности частных производных первого порядка, Сопряжённые функции u и u являются соответственно действительной и мнимой частью некоторой аналитической функции f (x +iy). Они удовлетворяют в области D уравнению Лапласа

  ,

  т. е. являются гармоническими функциями. Заданием функции, гармонической в односвязной области D [напр., u (х, у)] однозначно (с точностью до постоянного слагаемого) определяется сопряжённая с ней гармоническая функция u(x, у), а тем самым и аналитическая функция f (x + iy). Например, если

   

[j = arg (х + iy)]

  — гармоническая функция в некотором круге , то Сопряжённые функции

 

и

Значения Сопряжённые функции на круге r = 1 являются периодическими функциями аргумента j. Они раскладываются в тригонометрические ряды вида

  называемые сопряжёнными тригонометрическими рядами.