Эрлангенская программа

Большая Советская Энциклопедия. Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии, очерки, аннотации, описания.


А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 1 2 3 4 8 A L M P S T X
ЭА ЭБ ЭВ ЭГ ЭД ЭЕ ЭЖ ЭЗ ЭЙ ЭК ЭЛ ЭМ ЭН ЭО ЭП ЭР ЭС ЭТ ЭУ ЭФ ЭХ ЭЦ ЭЧ ЭШ ЭЭ ЭЯ
ЭРА
ЭРБ
ЭРВ
ЭРГ
ЭРД
ЭРЕ
ЭРЗ
ЭРИ
ЭРК
ЭРЛ
ЭРМ
ЭРН
ЭРО
ЭРР
ЭРС
ЭРТ
ЭРУ
ЭРФ
ЭРХ
ЭРЦ
ЭРЬ

Эрлангенская программа, единая точка зрения на различные геометрии (например, евклидову, аффинную, проективную), сформулированная впервые Ф. Клейном на лекции, прочитанной в 1872 в университете г. Эрланген (Германия) и напечатанной в том же году под названием «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований».

  Сущность Эрлангенская программа состоит в следующем. Как известно, евклидова геометрия рассматривает те свойства фигур, которые не меняются при движениях; равные фигуры определяются как фигуры, которые можно перевести одну в другую движением. Но вместо движений можно выбрать какую-нибудь иную совокупность геометрических преобразований и объявить «равными» фигуры, получающиеся одна из другой с помощью преобразований этой совокупности; при этом придём к иной «геометрии», изучающей свойства фигур, не меняющиеся при рассматриваемых преобразованиях. Введённое «равенство» должно удовлетворять следующим трём естественным условиям: 1) каждая фигура F «равна» сама себе, 2) если фигура F «равна» фигуре F' то и F' «равна» F, 3) если фигура F «равна» F' а F' «равна» F'', то и F «равна» F''. Соответственно этому приходится накладывать на совокупность преобразований следующие три требования: 1) в совокупность должно входить тождественное преобразование, оставляющее всякую фигуру на месте, 2) наряду с каждым преобразованием П, переводящим фигуру F в F' в совокупность должно входить «обратное» преобразование П-1 переводящее F' в F, 3) вместе с двумя преобразованиями П1 и П2, переводящими соответственно F в F' и F' в F'', в совокупность должно входить произведение П2П1 этих преобразований, переводящее F в F'' (П2П1) состоит в том, что сначала производится П1, а затем П2). Требования 1), 2) и 3) означают, что рассматриваемая совокупность является группой преобразований (см. Непрерывная группа). Теория, которая изучает свойства фигур, сохраняющиеся при всех преобразованиях данной группы, называется геометрией этой группы.

  Выбирая по-разному группу преобразований, получим разные геометрии. Так, принимая за основу группу движений, мы придём к обычной (евклидовой) геометрии; заменяя движения аффинными преобразованиями или проективными преобразованиями, придем к аффинной, соответственно, проективной геометрии. Основываясь на идеях А. Кэли, Клейн показал, что принятие за основу группы проективных преобразований, переводящих в себя некоторый круг (или произвольное коническое сечение), приводит к неевклидовой геометрии Лобачевского (см. Лобачевского геометрия). Клейн ввёл в рассмотрение довольно широкий круг других геометрий, определяемых подобным же образом.

  Эрлангенская программа не охватывает некоторых важных разделов геометрии, например риманову геометрию. Однако Эрлангенская программа имела для дальнейшего развития геометрии существенное стимулирующее значение. Важные работы, ставящие своей целью объединить теоретико-групповой и дифференциально-геометрический подход к геометрии, принадлежат Я. Схоутену и Э. Картану.

 

  Лит.: Клейн Ф., Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований («Эрлангенская программа»), в кн.: Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей, М., 1956; его же, Элементарная математика с точки зрения высшей, пер. с нем., 2 изд., т. 2, М. — Л., 1934; его же, Высшая геометрия, пер. с нем., М. —Л., 1939; Александров П. С., Что такое неэвклидова геометрия, М., 1950; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971.

Так же Вы можете узнать о...


Безлепестные растения (Apetalae), название групп семейства двудольных растений, лишённых околоцветника, имеющих его в зачаточном состоянии (например, ивовые) или обладающих лишь простым околоцветником, т.
Гастреи теория, теория, сформулированная Э. Геккелем (в значительной мере на основании сравнительно-эмбриологических исследований А.
Западное Самоа (Western Samoa), государство в Полинезии.
Копенгаген (København), столица Дании, крупнейший экономический и культурный центр страны.
Металлоиды (от металлы и греч. eidos — вид, облик, образ),
Парусные ящерицы, парусохвостые ящерицы (Hydrosaurus), род пресмыкающихся семейства агам.
Сабза, сушёный виноград бессемянных сортов с белыми ягодами (кишмиш белый овальный и др.
Термоядерные реакции, ядерные реакции между лёгкими атомными ядрами, протекающие при очень высоких температурах (порядка 107 К и выше).
Часы (созвездие) Часы (лат. Horologium), созвездие Южного полушария неба, наиболее яркая звезда 3,9 визуальной звёздной величины.
Аполлов Борис Александрович (12.6.1889, Петербург, — 26.
Витрификация (от лат. Vitrum — стекло и facio — делаю, превращаю), переход жидкости при понижении температуры в стеклообразное состояние.
Добржанская Любовь Ивановна (р. 24.12.1908, Киев), русская советская актриса, народная артистка СССР (1965).
Кильская бухта (Kieler Bucht), широкая, открытая бухта в юго-западной части Балтийского моря, у основания полуострова Ютландия.