Линейный функционал, обобщение понятия линейной формы на линейные пространства. Линейным функционалом f на линейном нормированном пространстве Е называют числовую функцию f(x), определённую для всех х из Е и обладающую следующими свойствами:

  1) f(x) линейна, т. е. f((x + (у) = (f(x) + (f(y),

  где х и у — любые элементы из Е, a и b — числа;

  2) f(x) непрерывна.

  Непрерывность f равносильна требованию, чтобы  было ограничено в Е; выражение  называют нормой f и обозначают .

  В пространстве С [a, b] функций a(t), непрерывных при a ( t ( b, с нормой  Линейный функционал являются, например, выражения:

  ,

  f₂[((t)] = ((t₀), a ( t₀( b.

В гильбертовом пространстве Н Линейный функционал суть скалярные произведения (l, х), где l — любой фиксированный элемент пространства Н; ими исчерпываются все Линейный функционал этого пространства.

  Во многих задачах можно из общих соображений установить, что та или иная величина является Линейный функционал Например, к Линейный функционал приводит решение линейных дифференциальных уравнений с линейными краевыми условиями. Поэтому очень существенным является вопрос об общем аналитическом выражении Линейный функционал в разных пространствах.

  Совокупность всех Линейный функционал данного пространства Е превращается в линейное нормированное пространство , если определить естественным образом сложение Линейный функционал и умножение их на числа. Пространство  называют сопряжённым к ; это пространство играет большую роль при изучении Е.

  С понятием Линейный функционал связано понятие слабой сходимости. Последовательность {xn} элементов линейного нормированного пространства называют слабо сходящейся к элементу х, если

 

  для любого Линейный функционал f. См. также Функциональный анализ.