Функция (математ.)

Большая Советская Энциклопедия. Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии, очерки, аннотации, описания.


А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 1 2 3 4 8 A L M P S T X
ФА ФБ ФЕ ФЁ ФЗ ФИ ФЛ ФО ФР ФТ ФУ ФЫ ФЬ ФЭ ФЮ
ФУА
ФУВ
ФУГ
ФУД
ФУЖ
ФУЗ
ФУК
ФУЛ
ФУМ
ФУН
ФУР
ФУС
ФУТ
ФУЦ
ФУЧ
ФУШ
ФУЭ

Функция, одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Если величины x и у связаны так, что каждому значению x соответствует определённое значение у, то у называют (однозначной) функцией аргумента x. Иногда x называют независимой, а у — зависимой переменной. Записывают указанное соотношение между x и у в общем виде так: у = f (x) или у = F (x) и т. п. Если связь между x и у такова, что одному и тому же значению x соответствует вообще несколько (быть может даже бесконечное множество) значений у, то у называют многозначной Функция (математ.) аргумента x. Задать Функция (математ.) у = f (x) значит указать:

Рис. к ст. Функция. Функция (математ.).

Рис. к ст. Функция.

  1) множество А значений, которые может принимать x (область задания Функция (математ.)),

  2) множество В значений, которые может принимать у (область значения Функция (математ.)), и

  3) правило, по которому значениям x из А соотносятся значения у из В. В простейших случаях областью задания Функция (математ.) служит вся числовая прямая или её отрезок а£x£b (или интервал а<x<b).

  Правило отнесения значениям x соответствующих им значений у чаще всего задаётся формулой, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести над x, чтобы найти у. Таковы, например, формулы ,  и т. п. К вычислительным (или аналитическим) операциям, кроме четырёх действий арифметики, принято относить также операцию перехода к пределу (т. е. нахождение по заданной последовательности чисел a1, a2, a3,... её предела liman, если он существует), хотя никаких общих способов производства этой операции нет. В 1905 А. Лебег предложил общее определение аналитически изобразимой Функция (математ.) как Функция (математ.), значения которой получаются из значений x и постоянных величин при помощи арифметических действий и предельных переходов. Все т. н. элементарные Функция (математ.) sinx, cosx, ax, , logx, arctgx и т. п. аналитически изобразимы. Например, cosx представляется формулой: .

  В 1885 К. Вейерштрасс установил аналитическую изобразимость любой непрерывной функции. Именно, он показал, что всякая Функция (математ.), непрерывная на каком-нибудь отрезке, является пределом последовательности многочленов вида c0 + c1x + c2x2 +...+ cnxn.

  Кроме описанного здесь аналитического способа задания Функция (математ.) при помощи формулы, применяются и др. способы. Так, в тригонометрии Функция (математ.) cosx определяется как проекция единичного вектора на ось, образующую с ним угол в x радианов, а Функция (математ.)  в алгебре как число, квадрат которого равен x. Возможность задания этих Функция (математ.) при помощи аналитических формул устанавливается лишь при более углублённом их изучении. Упомянем ещё о т. н. функции Дирихле y(x), равной 1, если x — число рациональное, и 0, если x — число иррациональное. Впервые эта Функция (математ.) была введена этим «бесформульным» способом, но впоследствии для неё была найдена и аналитическая формула: .

  Существуют, однако, и такие Функция (математ.), которые не представимы в описанном выше смысле никакой аналитической формулой. Такими Функция (математ.), во всяком случае, являются т. н. неизмеримые по Лебегу Функция (математ.)

  К Функция (математ.), заданным одной аналитической формулой, примыкают Функция (математ.), которые на разных частях своей области задания определены различными формулами. Такова, например, Функция (математ.) f (x), заданная так: f (x) = x, если x£ 1, и f (x) = x2, если x> 1. Приведённое выше «бесформульное» задание функции Дирихле y(x) также принадлежит к этому типу.

  Функция (математ.) y = f (x) иногда задаётся своим графиком, т. е. множеством тех точек (x, у) плоскости, у которых x принадлежит области задания Функция (математ.), а у = f (x). В прикладных вопросах часто довольствуются таким заданием Функция (математ.), когда её график просто начерчен на плоскости (рис.), а значения Функция (математ.) снимаются с чертежа. Так, например, верхние слои атмосферы можно изучать при помощи шаров-зондов, несущих самопишущие приборы, непосредственно доставляющие кривые изменения температуры, давления и т. п.

  Чтобы задание Функция (математ.) графиком было вполне корректным с чисто математической точки зрения, недостаточно, однако, просто начертить её график, ибо задание геометрического объекта чертежом всегда недостаточно определенно. Поэтому для графического задания Функция (математ.) должна быть указана точная геометрическая конструкция её графика. Чаще всего эта конструкция задаётся при помощи уравнения, что возвращает нас к аналитическому заданию Функция (математ.), однако возможны и чисто геометрические методы построения графика (например, прямая линия вполне определяется заданием координат двух её точек).

  В технике и естествознании часто встречается следующая ситуация: зависимость между величинами x и у заведомо существует, но неизвестна. Тогда производят ряд экспериментов, в каждом из которых удаётся измерить одно из значений величины x и соответствующее ему значение у. В результате составляется более или менее обширная таблица, сопоставляющая измеренным значениям x соответствующие значения у. Тогда говорят о «табличном» задании Функция (математ.) Нахождение для такой Функция (математ.) аналитической формулы (см. Интерполяция) не раз представляло собой важное научное открытие (например, открытие Р. Бойлем и Э. Мариоттом формулы pv = С, связывающей давление и объём массы газа). Табличное задание Функция (математ.) с чисто математической точки зрения вполне корректно, если под областью задания Функция (математ.) понимать именно то множество значений x, которое внесено в таблицу, и табличные значения у считать абсолютно точными. Кроме Функция (математ.) одного аргумента, о которых шла речь, в математике и её приложениях, большое значение имеют Функция (математ.) нескольких аргументов. Пусть, например, каждой системе значений трёх переменных x, у, z соответствует определённое значение четвёртой переменной u. Тогда говорят, что u есть (однозначная) Функция (математ.) аргументов x, у, z, и пишут u = f (x, у, z). Формулы u = x + 2y, u = (x + у) sinz дают примеры аналитического задания Функция (математ.) двух и трёх аргументов. Аналогично определяются и многозначные Функция (математ.) нескольких аргументов. Функция (математ.) двух аргументов z = f (x, y) можно задать и при помощи её графика, т. е. множества точек (x, у, z) пространства, у которых (x, у) принадлежит области задания Функция (математ.), а z = f (x, у). В простейших случаях таким графиком служит некоторая поверхность.

  Развитие математики в 19 и 20 вв. привело к необходимости дальнейшего обобщения понятия Функция (математ.), заключавшегося в перенесении этого понятия с переменных действительных чисел сначала на переменные комплексные числа, а затем и на переменные математические объекты любой природы. Например, если каждому кругу x плоскости соотнести его площадь у, то у будет функцией x, хотя x уже не число, а геометрическая фигура. Точно так же, если каждому шару x трёхмерного пространства соотнести его центр у, то здесь уже ни x, ни y не будут числами.

  Общее определение однозначной Функция (математ.) можно сформулировать так: пусть А = {x} и В = {у} — два непустых множества, составленных из элементов любой природы, и М — множество упорядоченных пар (x, у) (где x Î А, уÎВ) такое, что каждый элемент xÎА входит в одну и только одну пару из М; тогда М задаёт на А функцию y = f (x), значение которой для каждого отдельного x0ÎА есть элемент y0ÎВ, входящий в единственную пару из М, имеющую x0 своим первым элементом.

  При указанном расширении понятия Функция (математ.) стирается различие между Функция (математ.) одного и нескольких аргументов. Например, всякую Функция (математ.) трёх числовых переменных x, у, z можно считать Функция (математ.) одного аргумента — точки (x, у, z) трёхмерного пространства. Более того, такие обобщения понятия Функция (математ.), как функционал или оператор (см. Функциональный анализ), также охватываются приведённым определением.

  Как и остальные понятия математики, понятие Функция (математ.) сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестных величины, налицо имеется место». По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У И. Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием Функция (математ.) В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона, Однако термин «Функция (математ.)» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем в современном понимании его. Лейбниц называет Функция (математ.) различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек и т. п.). В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых» Г. Лопиталя (1696) термин «Функция (математ.)» не употреблялся.

  Первое определение Функция (математ.) в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания Функция (математ.) аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера (см. «Введение в анализ бесконечных», 1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Впрочем, уже Эйлеру было не чуждо и современное понимание Функция (математ.), которое не связывает понятие Функция (математ.) с каким-либо аналитическим её выражением. В его «Дифференциальном исчислении» (1755) говорится: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых». Всё же в 18 в. отсутствовало достаточно ясное понимание различия между Функция (математ.) и её аналитическим выражением. Это нашло отражение в той критике, которой Эйлер подверг решение задачи о колебании струны, предложенное Д. Бернулли (1753). В основе решения Бернулли лежало утверждение о возможности разложить любую Функция (математ.) в тригонометрический ряд. Возражая против этого, Эйлер указална то, что подобная разложимость доставляла бы для любой Функция (математ.) аналитическое выражение, в то время как Функция (математ.) может и не иметь его (она может быть задана графиком, «начертанным свободным движением руки»). Эта критика убедительна и с современной точки зрения, ибо не все Функция (математ.) допускают аналитическое изображение (правда, у Бернулли речь идёт о непрерывной Функция (математ.), которая всегда аналитически изобразима, но она может и не разлагаться в тригонометрический ряд). Однако другие аргументы Эйлера уже ошибочны. Например, Эйлер считал, что разложение Функция (математ.) в тригонометрический ряд доставляет для неё единое аналитическое выражение, в то время как она может быть «смешанной» Функция (математ.), представимой на разных отрезках разными формулами. На самом деле одно другому не противоречит, но в ту эпоху казалось невозможным, чтобы два аналитических выражения, совпадая на части отрезка, не совпадали на всём его протяжении.

  Эти ошибочные взгляды мешали развитию теории тригонометрических рядов, и лишь в работах Ж. Фурье (1822) и П. Дирихле (1829) правильные по существу идеи Д. Бернулли получили дальнейшее развитие.

  С начала 19 в. уже всё чаще и чаще определяют понятие Функция (математ.) без упоминания об её аналитическом изображении. В руководстве французского математика С. Лакруа (1810) говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних». В «Аналитической теории тепла» Ж. Фурье (1822) имеется фраза: «Функция fx обозначает функцию совершенно произвольную, т. е. последовательность данных значений, подчиненных или нет общему закону и соответствующих всем значениям x, содержащимся между 0 и какой-либо величиной X». Близко к современному и определение Н. И. Лобачевского («Об исчезании тригонометрических строк», 1834):»... Общее понятие требует, чтобы функцией от x называть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Там же немного ниже сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи, понимать как бы данными вместе». Т. о., современное определение Функция (математ.), свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое Дирихле и высказанное в 1837, неоднократно предлагалось и до него.

  В заключение отметим следующее важное открытие, принадлежащее Д. Е. Меньшову: всякая конечная измеримая (по Лебегу) на отрезке Функция (математ.) (см. Измеримые функции) разлагается в тригонометрический ряд, сходящийся к ней почти всюду. Т. к. обычно встречаемые Функция (математ.) измеримы, то можно сказать, что практически всякая Функция (математ.) изобразима аналитически с точностью до множества меры нуль.

 

  Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1—2, М., 1971—73; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1—2, М., 1973; Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М.,1975

  И. П. Натансон.

Так же Вы можете узнать о...


Набизаде Назым Набизаде (Nabizade) Назым (1862, Стамбул, — 6.
Славянов Николай Гаврилович [23.4 (5.5).1854, с.
Эпиорнис (Aepyornis), вымершая бегающая птица отряда эпиорнисов.
Голубок Владислав Иосифович [3(15).5.1882—1937], белорусский советский режиссёр, актёр, драматург, театральный художник, народный артист БССР (1925).
Куты, посёлок городского типа в Косовском районе Ивано-Франковской области УССР.
Понт-а-Муссон (Pont-à-Mousson), город на северо-востоке Франции, в Лотарингии, в департаментах Мёрт и Мозель, на р.
Фагоцитоз, процесс активного захватывания и поглощения живых и неживых частиц одноклеточными организмами или особыми клетками (фагоцитами) многоклеточных животных организмов.
Бленда светозащитная (нем. Blende), приспособление в виде конуса или пирамиды, надеваемое узким концом на объектив фотоаппарата во время съёмки для предохранения от попадания в объектив боковых лучей света.
Инфауна (от лат. in — в, внутри и фауна), животные, обитающие в донных грунтах морей, рек, озер и прудов.
Надёжный Дмитрий Николаевич [24.10(5.11).1873, Нижний Новгород, ныне Горький, — 22.
Сложение, арифметическое действие. Результатом С.
Эрида, в древнегреческой мифологии богиня раздора, вражды.
Гондурас (государство в Центр. Америке) Гондурас (Honduras), Республика Гондурас (Republica de Honduras), государство в Центральной Америке.
Кьога, Киога (Kioga, Kyoga), озеро в Африке, в Уганде.
Поркьюпайн (горнопром. пункт в Канаде) Поркьюпайн (Porcupine), горнопромышленный пункт в Центральной Канаде, в провинции Онтарио.
Фандарья, река в Таджикской ССР, левый приток р.
Бобовая огнёвка, бабочка семейства огнёвок, повреждает бобовые растения, то же, что акациевая огнёвка.
Ионава, город, центр Ионавского района Литовской ССР.