уравнений математической физики."> уравнений математической физики."> уравнений математической физики.">

Уравнения математической физики Основные примеры уравнений математической физики.

Большая Советская Энциклопедия. Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии, очерки, аннотации, описания.


А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 1 2 3 4 8 A L M P S T X
УА УБ УВ УГ УД УЕ УЖ УЗ УИ УЙ УК УЛ УМ УН УО УП УР УС УТ УФ УХ УЦ УЧ УШ УЩ УЭ УЮ УЯ
УРА
УРБ
УРВ
УРГ
УРД
УРЕ
УРЖ
УРЗ
УРИ
УРК
УРЛ
УРМ
УРН
УРО
УРС
УРТ
УРУ
УРФ
УРЦ
УРШ
УРЫ
УРЮ
УРЯ

Основные примеры уравнений математической физики.

  Волновое уравнение:

 

  – простейшее уравнение гиперболического типа, а также соответствующие неоднородные уравнения (в правой части которых добавлены известные функции) – телеграфное уравнение и т.д. Уравнения и системы этого типа появляются при анализе различных колебаний и волновых процессов. Свойства уравнений и систем гиперболического типа во многом аналогичны свойствам приведённых простейших таких уравнений.

  Лапласа уравнение:

 

  – простейшее уравнение эллиптического типа и соответствующее неоднородное уравнение – Пуассона уравнение. Уравнения и системы эллиптического типа появляются обычно при анализе стационарных состояний. Теплопроводности уравнение:

 

  – простейший пример уравнения параболического типа. Уравнения и системы параболического типа появляются обычно при анализе процессов выравнивания.

  Первым примером уравнений смешанного типа явилось т. н. уравнение Трикоми:

 

  Для этого уравнения полуплоскость  служит зоной эллиптичности, полуплоскость у < 0 – зоной гиперболичности, а прямая у = 0 – зоной параболичности.

  Ряд задач математической физики приводит к интегральным уравнениям различных типов. Так, например, интегральные уравнения Вольтерра возникают в тех задачах физики, в которых существует предпочтительное направление изменения независимого переменного (например, времени, энергии и т.д.). В задаче о крутильных колебаниях возникает некоторое интегро-дифференциальное уравнение.

  Постановка задач и методы решения уравнений математической физики. На первом этапе развития теории Уравнения математической физики много усилий было затрачено на отыскание их общего решения. Уже Ж. Д'Аламбер (1747) получил общее решение волнового уравнения. Основываясь на подстановках, применявшихся Л. Эйлером (1770), П. Лаплас предложил (1773) «каскадный метод», дающий общее решение некоторых др. линейных однородных гиперболических уравнений 2-го порядка с двумя аргументами. Однако такое общее решение удалось найти в весьма редких случаях; в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений с частными производными не выделено ни одного сколько-нибудь значительного класса уравнений, для которых общее решение может быть получено в виде достаточно простой формулы. Кроме того, оказалось что при анализе физических процессов Уравнения математической физики обычно появляются вместе с дополнительными условиями, характер которых коренным образом влияет на направление исследования решения (см. Краевые задачи, Коши задача).

  Широкое распространение получили методы приближённого решения краевых задач, в которых задача сводится к решению системы алгебраических (обычно линейных) уравнений (см. Ритца и Галёркина методы. Сеток метод). При этом за счёт увеличения числа неизвестных в системе можно достичь любой степени точности приближения.

 

  Лит.: Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; Годунове. К., Уравнения математической физики, М., 1971; Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972.

 

Уравнения математической физики, дифференциальные уравнения с частными производными, а также некоторые родственные уравнения иных типов (интегральные, интегро-дифференциальные и т.д.), к которым приводит математический анализ физических явлений. Для теории У. м. ф. характерна постановка задач в таком виде, как это необходимо при исследовании физического явления. Круг У. м. ф. с расширением области применения математического анализа также неуклонно расширяется. При систематизации полученных результатов появляется необходимость включить в теорию У. м. ф. уравнения и задачи более общего вида, чем те, которые появляются при анализе конкретных явлений; однако и для таких уравнений и задач характерно то, что их свойства допускают более или менее наглядное физическое истолкование (см. Математическая физика).

Классификация уравнений математической физики. Значительная часть У. м. ф. составляют линейные уравнения с частными производными 2-го порядка общего вида:

  , (1)

  где все коэффициенты aij (aij = aij), bi, с и правая часть f представляют собой заданные функции независимых переменных x1, x2,..., хп (n ³ 2), а u – искомая функция тех же аргументов. Свойства решений уравнения (1) существенно зависят от знаков корней (алгебраического относительно l) уравнения

   = 0, (2)

  и поэтому классификация уравнений (1) проводится в соответствии с этими знаками. Если все n корней уравнения (2) имеют одинаковый знак, то говорят, что уравнение (1) принадлежит к эллиптическому типу; если один из корней имеет знак, противоположный знаку остальных n – 1 корней, – к гиперболическому типу; наконец, если уравнение (2) имеет один нулевой корень, а прочие корни одинакового знака, – к параболическому типу. Если коэффициенты aij постоянны, то уравнение (1) принадлежит к определенному типу независимо от значений аргументов; если же эти коэффициенты зависят от x1,..., хп, то и корни уравнения (2) зависят от x1,..., хп, а потому уравнение (1) может принадлежать к разным типам при различных значениях аргументов. В последнем случае (уравнение смешанного типа) изучаемая область изменения аргументов состоит из зон, в которых тип уравнения (1) сохраняется. Если корень уравнения (2), переходя от положительных значений к отрицательным, обращается в нуль, то между зонами эллиптичности и гиперболичности расположены зоны параболичности (надо отметить, что и в ряде др. отношений параболического уравнения занимают промежуточное положение между эллиптическими и гиперболическими).

  Для линейных уравнений с частными производными выше 2-го порядка и для систем уравнений с несколькими искомыми функциями классификация более сложна.

Основные примеры уравнений математической физики.
Так же Вы можете узнать о...


«Хок тап» («Hoc tap» — «Учёба»), ежемесячный журнал, теоретический и политический орган ЦК Партии трудящихся Вьетнама в 1955—76.
Шелушильный постав, машина для шелушения (отделения цветочных плёнок от ядра) при переработке риса или овса в крупу.
«Юнилевер» (Unilever), англо-голландская монополия пищевой и мыловаренно-косметической промышленности; см.
Анадырский залив Берингова моря, между Чукотским полуостровом и берегом материка Азии.
Барбу Зуджен Барбу (Barbu) Зуджен (р. 20.2.1924, Бухарест), румынский писатель.
Бриджтаун (Bridgetown), столица Барбадоса, порт на берегу Атлантического около 94,4 тыс.
Вичуга, город в Ивановской области РСФСР. Железнодорожная станция в 65 км к северо-востоку от г.
Геохимии и аналитической химии институт им. В.
Дадзай Осаму (псевдоним; настоящее имя Цусима Сюдзи) (19.
Дурбэт-Даба, перевал в хребте Сайлюгем, на границе МНР и СССР.
Изобретение, в широком смысле слова — новое техническое решение задачи, поднимающее существующий уровень техники.
Карельская Автономная Советская Социалистическая Республика, Карелия.
«Коммунист» (газета Дагестанской АССР) «Коммунист», республиканская газета Дагестанской АССР на лезгинском языке.