Фурье преобразование (данной функции), функция, выражающаяся через данную функцию f (x) формулой: ,     (1)

  Если функция f (x) чётная, то еёф. п. равно      (2)

(косинус-преобразование), а если f (x) — нечётная функция, то      (3)

(синус-преобразование). Формулы (1), (2) и (3) обратимы, т. е. для чётных функций ,     (4)

а для нечётных функций .     (5)

  В общем случае имеет место формула .     (6)

  Каждой операции над функциями соответствует операция над их Фурье преобразование, которая во многих случаях проще соответствующей операции над f (x). Например, Фурье преобразование f'(x) является iug (u). Если ,     (7)

то g (u) = g₁(u) g₂(u). Для f (x + а) Фурье преобразование является e^iuag (u), а для c₁f₁(x) + c₂f₂ (x) — функция c₁g₁(u) + c₂g₂(u).

  Если существует , то интегралы в формулах (1) и (6) сходятся в среднем (см. Сходимость), причём      (8)

(теорема Планшереля). Формула (8) является обобщением на Фурье преобразование формулы Парсеваля (см. Парсеваля равенство) для рядов Фурье (см. Фурье ряд). Физический смысл формулы (8) заключается в равенстве энергии некоторого колебания сумме энергий его гармонических компонент. Отображение F: f (x) ®g (u) является унитарным оператором в гильбертовом пространстве функций f (x), — ¥<x<¥, с интегрируемым квадратом. Этот оператор может быть представлен также в виде .     (9)

  При некоторых условиях на f (x) справедлива формула Пуассона ,

находящая применение в теории тэта-функций.

  Если функция f (x) достаточно быстро убывает, то её Фурье преобразование можно определить и при некоторых комплексных значениях u  = v + iw. Например, если существует , а> 0, то Фурье преобразование определено при |w| < а. Фурье преобразование при комплексных значениях тесно связано с двусторонним преобразованием Лапласа (см. Лапласа преобразование)  .

  Оператор Фурье преобразование может быть расширен на более обширные классы функций, нежели совокупность суммируемых функций [например, для функций f (x) таких, что (1 + |x|)^–1f (x) суммируема, Фурье преобразование определяется формулой (9)], и даже на некоторые классы обобщённых функций (т. н. медленного роста).

  Имеются обобщения Фурье преобразование Одно из них использует различного рода специальные функции, например Бесселя функции, это направление получает завершение в теории представлений непрерывных групп. Другим является т. н. преобразование Фурье — Стилтьеса, широко применяемое, например, в теории вероятностей; оно определяется для произвольной ограниченной неубывающей функции j(x) Стилтьеса интегралом      (10)

и называется характеристической функцией распределения j. Для представимости функции g (u) в виде (10) необходимо и достаточно, чтобы при любых u₁,..., u_n, x₁,...,x_n было

(теорема Бохнера — Хинчина).

  Фурье преобразование, первоначально возникшее в теории теплопроводности, имеет многочисленные применения как в самой математике (например, при решении дифференциальных, разностных и интегральных уравнений, в теории специальных функций и т.д.), так и в различных разделах теоретической физики. Например, Фурье преобразование стало стандартным аппаратом квантовой теории поля, широко используется в методе функций Грина для неравновесных задач квантовой механики и термодинамики, в теории рассеяния и т.д.

 

  Лит.: Снеддон И., Преобразование Фурье, пер. с англ., М., 1955; Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, М., 1976.