Непрерывная дробьБольшая Советская Энциклопедия. Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии, очерки, аннотации, описания.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Непрерывная дробь, цепная дробь, один из важнейших способов представления чисел и функций. Непрерывная дробь есть выражение вида где a0 — любое целое число, a1, a2,..., an,... — натуральные числа, называемые неполными частными, или элементами, данной Непрерывная дробь К Непрерывная дробь, изображающей некоторое число a, можно прийти, записывая это число в виде где a0 — целое числои 0 < 1/a1 < 1, затем, записывая в таком же виде a1 и т. д. Число элементов Непрерывная дробь может быть конечным или бесконечным; в зависимости от этого Непрерывная дробь называют конечной или бесконечной. Непрерывная дробь (1) часто символически обозначают так: [а0; a1, a2,..., an,...] (бесконечная Непрерывная дробь) (2) или [а0; а1, a2,..., an] (конечная Непрерывная дробь). (3) Конечная Непрерывная дробь всегда представляет собой рациональное число; обратно, каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной Непрерывная дробь (3); такое представление единственно, если потребовать, чтобы an¹ 1. Непрерывная дробь [а0; a1, a2,..., ak] (k £ n), записанную в виде несократимой дроби pk/qk, называют подходящей дробью порядка k данной Непрерывная дробь (2). Числители и знаменатели подходящих дробей связаны рекуррентными формулами: pk+1 = ak+1pk+ pk-1, qk+1 = ak+1qk+ qk-1, которые служат основанием всей теории Непрерывная дробь Из этих формул непосредственно вытекает важное соотношение pkqk-1 — qkpk-1 = ± 1. Для каждой бесконечной Непрерывная дробь существует предел называемый значением данной Непрерывная дробь Каждое иррациональное число является значением единственной бесконечной Непрерывная дробь, получаемой разложением a указанным выше образом, например (е — 1)/2 = [0, 1,6, 10,14, 18,...]; квадратичные иррациональности разлагаются в периодические Непрерывная дробь Основное значение Непрерывная дробь для приложений заключается в том, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями числа a, то есть, что для любой другой дроби m/n, знаменатель которой не более gk имеет место неравенство |na — m| > |gka — pkl; при этом |qk. — pk| < 1/qk+1. Нечётные подходящие дроби больше a, а чётные — меньше. При возрастании k нечётные подходящие дроби убывают, а чётные возрастают. Непрерывная дробь используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Например, известные приближения 22/7, 355/113 для числа p (отношения длины окружности к диаметру) суть подходящие дроби для разложения p в Непрерывная дробь Следует отметить, что первое доказательство иррациональности чисел е и p было дано в 1766 немецким математиком И. Ламбертом с помощью Непрерывная дробь Французский математик Ж. Лиувилль доказал: для любого алгебраического числаa степени n можно найти такую постоянную l, что для любой дроби x/y выполняется неравенство |a — x/y| > l/уn. С помощью Непрерывная дробь можно построить числа a такие, что разность |a — pk/qk| делается меньше a/gk, какую бы постоянную l мы ни взяли. Так, используя Непрерывная дробь, можно строить трансцендентные числа. Недостатком Непрерывная дробь является чрезвычайная трудность арифметических действий над ними, равносильная практической невозможности этих действий; например, зная элементы двух дробей, мы не можем сколько-нибудь просто получить элементы их суммы или произведения. Непрерывная дробь встречаются уже в 16 в. у Р. Бомбелли. В 17 в. Непрерывная дробь изучал Дж. Валлис; ряд важных свойств Н. д. открыл Х. Гюйгенс, занимавшийся ими в связи с теорией зубчатых колёс. Многое сделал для теории Непрерывная дробь Л. Эйлер в 18 в. В 19 в. П. Л. Чебышев, А. А. Марков и др. применили Непрерывная дробь, элементами которых являются многочлены, к изучениюортогональных многочленов.
Лит.: Чебышев П. Л., Полное собрание сочинений, 2 изд., т. 1, М. — Л., 1946; Хинчин А. Я., Цепные дроби, 2 изд., М. — Л., 1949; Эйлер Л., Введение в анализ бесконечно малых, пер. с лат., т. 1, М. — Л., 1936; Стилтьес Т. И., Исследования о непрерывных дробях, пер. с франц., Хар. — К., 1936; Perron О., Die Lehre von den Kettenbrüchen, 2 Aufl., Lpz. — B., 1929; Wall Н. S., Analytic theory of continued fractions, Toronto — N. Y. — L., 1948.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|