Тригонометрический ряд,функциональный ряд вида

  , (1)

  то есть ряд, расположенный по синусам и косинусам кратных дуг. Часто Тригонометрический ряд р. записываются в комплексной форме

   .

  Числа a_n, b_n или c_n называют коэффициентами Тригонометрический ряд р.

  Тригонометрический ряд р. играют весьма важную роль в математике и её приложениях. Прежде всего Тригонометрический ряд р. дают средства для изображения и изучения функций и являются поэтому одним из основных аппаратов теории функций. Далее, Тригонометрический ряд р., естественно, появляются при решении ряда задач математической физики, среди которых можно отметить задачу о колебании струны, задачу о распространении тепла и др. Наконец, теория Тригонометрический ряд р. способствовала уточнению основных понятий математического анализа (функция, интеграл), вызвала к жизни ряд важных разделов математики (теория интегралов Фурье, теория почти-периодических функций), послужила одним из отправных пунктов для развития теории множеств, теории функций действительного переменного и функционального анализа и положила начало общему гармоническому анализу.

  Тригонометрический ряд р. впервые появляются в работах Л. Эйлера («Введение в анализ бесконечно малых», 1748; Письмо к Х. Гольдбаху от 4 июля 1744), например:

  ,

  Эйлер указал на связь между степенными рядами и Тригонометрический ряд р.: если , где c_n действительны, то   (где Re обозначает действительную часть функции). Эйлеру же принадлежат первые приложения Тригонометрический ряд р. к исследованию колебания струны (1748); по его мнению, в Тригонометрический ряд р. могут быть разложены лишь те функции, которые мы теперь назвали бы кусочно-аналитическими. Формулы для коэффициентов в разложении

  ,

  а именно:

   ,

  были впервые указаны А. Клеро (1757), а их вывод посредством почленного интегрирования Тригонометрический ряд р. был дан Эйлером в 1777; впрочем, формулы для a₀ и a₁ встречаются еще раньше у Ж. Д'Аламбера (1754).

  Тригонометрический ряд р. привлекли к себе интерес крупнейших математиков 50—70-х гг. 18 в. в связи со спором о колебании струны. В частности, Д. Бернулли впервые высказал утверждение, что «произвольная» функция может быть разложена в Тригонометрический ряд. р. Однако в то время понятие функции было ещё недостаточно отчётливым (см. Функция). Утверждение, что функции весьма общего вида действительно могут быть разложены в Тригонометрический ряд р., было вновь высказано и постоянно выдвигалось Ж. Фурье (1811); он систематически пользовался Тригонометрический ряд р. при изучении задач теплопроводности. Весьма широкий класс Тригонометрический ряд р. по праву носит его имя (см. Фурье ряд). После исследований Фурье Тригонометрический ряд р. прочно вошли в математическую физику (С. Пуассон, М. В. Остроградский). Существенный прогресс теории Тригонометрический ряд р. в 19 в. был связан с уточнением основных понятий математического анализа и созданием теории функций действительного переменного. Так, П. Дирихле (1837), уточнив понятие произвольной функции, получил первый общий признак сходимости рядов Фурье; Г. Ф. Б. Риман исследовал понятие интеграла и установил необходимое и достаточное условие интегрируемости функций в связи с исследованиями по Тригонометрический ряд р.; исследования, относящиеся к изображению функций Тригонометрический ряд р., привели Г. Кантора к созданию теории множеств; наконец, А. Лебег (1902—06), применив развитые им понятия меры и интеграла к теории Тригонометрический ряд р., придал ей современный вид. Важный вклад в теорию Тригонометрический ряд р. внесли Н. Н. Лузин, Д. Е. Меньшов и др.

 

  Лит.: Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М. — Л., 1951; Барин. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1965.