Функций теория, раздел математики, в котором изучаются общие свойства функций. Функций теория распадается на две части: теория функций действительного переменного и теория функций комплексного переменного.

  В «классическом» математическом анализе основным объектом изучения являются непрерывные функции, заданные на (конечных или бесконечных) интервалах и обладающие более или менее высокой степенью гладкости. Однако уже со 2-й половины 19 в. развитие математики всё настоятельнее стало требовать систематического изучения функций более общего типа. Основной причиной этого является то, что предел последовательности непрерывных функций может быть разрывен. Иными словами, класс непрерывных функций оказывается незамкнутым относительно важнейшей операции анализа — предельного перехода. В связи с этим функции, определяемые при помощи таких классических средств, как тригонометрические ряды, часто оказываются разрывными или недифференцируемыми. По той же причине могут быть разрывны производные непрерывных функций и т.п. Наконец, дифференциальные уравнения, возникающие при рассмотрении физических задач, иногда не имеют решений в классе достаточно гладких функций, но имеют их в более широких классах функций (если надлежащим образом сообщить само понятие решения). Весьма важно, что именно эти обобщённые решения (см. Обобщённые функции) и дают ответ на исходную физическую задачу. Эти и аналогичные им обстоятельства стимулировали создание Функций теория действительного переменного.

  Отдельные частные факты Функций теория действительного переменного были открыты ещё в 19 в. (существование рядов непрерывных функций с разрывной суммой, примеры нигде не дифференцируемых непрерывных функций, не интегрируемых функций и т.п.). Однако эти факты воспринимались обычно как «исключения из правил» и не объединялись никакими общими схемами. Лишь в начале 20 в., когда в основу изучения функций были положены методы множеств теории, стала развиваться систематически современная Функций теория действительного переменного.

  Можно различить три направления в Функций теория действительного переменного.

  1) Метрическая Функций теория, где свойства функций изучаются при помощи меры (см. Мера множества) тех множеств, на которых эти свойства имеют место. В метрической Функций теория с общих точек зрения изучаются интегрирование и дифференцирование функций (см. Интеграл, Дифференциал, Производная), различными способами обобщается понятие сходимости функциональных последовательностей, исследуется строение разрывных функций весьма широкого типа и т.п. Важнейшим классом функций, изучаемым в метрической Функций теория, являются измеримые функции.

  2) Дескриптивная Функций теория, в которой основным объектом изучения является операция предельного перехода (см. Бэра классификация).

  3) Конструктивная Функций теория, изучающая вопросы изображения произвольных функций при помощи надлежащих аналитических средств (см. Приближение и интерполирование функций).

  О Функций теория комплексного переменного см. Аналитические функции.

 

  Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л., 1948; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976.