Потенциалы электромагнитного поля, величины, характеризующие электромагнитное поле. В электростатике векторное электрическое поле можно характеризовать одной скалярной функцией — потенциалом электростатическим. В общем случае для описания произвольного электромагнитного поля вместо двух векторов — магнитной индукции В и напряжённости электрического поля Е можно ввести две др. величины: векторный потенциал А (х, у, z, t) и скалярный потенциал j(x, у, z, t) (где х, у, z — координаты, t — время), при этом В и Е однозначно выражаются через А и j В = rot А, E = -gradj,     (1)

где с — скорость света в вакууме.

  Уравнения для потенциалов поля имеют более простую форму, чем исходные Максвелла уравнения, и поэтому введение Потенциалы электромагнитного поля упрощает задачу нахождения переменных электромагнитных полей. Существенное упрощение уравнений для Потенциалы электромагнитного поля возможно благодаря тому, что потенциалы определяются неоднозначно. Если вместо А и j выбрать новые потенциалы А' = А + gradc, ,     (2)

где c — произвольная функция координат и времени, то векторы В и Е, определяемые уравнениями (1), не изменятся. Инвариантность электромагнитного поля по отношению к преобразованиям потенциалов (2) носит название калибровочной или градиентной инвариантности. Калибровочная инвариантность позволяет наложить на Потенциалы электромагнитного поля дополнительное условие. Обычно таким дополнительным условием является условие Лоренца: divA + ,     (3)

где e и m— диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. При использовании условия (3) уравнения для Потенциалы электромагнитного поля в однородной среде (e = const, m = const), получаемые из уравнений Максвелла, приобретают одинаковую форму: ,     (4) ;

здесь D—Лапласа оператор, r и j — плотности заряда и тока, a u =  — скорость распространения электромагнитного поля в среде. Если r = 0 и j = 0, то Потенциалы электромагнитного поля удовлетворяют волновым уравнениям.

Уравнения (4) позволяют определить потенциалы А и j по известному распределению зарядов и токов, а следовательно, с помощью формул (1) — характеристики электромагнитного поля В и Е. Частные решения уравнений (4), удовлетворяющие причинности принципу, называют запаздывающими потенциалами. Запаздывающие потенциалы в точке с координатами х, у, z в момент времени t определяются плотностями заряда и тока в точке с координатами х’, у’, z' в предшествующий момент времени t = t — R/u, где

— расстояние от источника поля до точки наблюдения.

  Если заряды и токи распределены в конечной области пространства G, то запаздывающие потенциалы определяются суммированием (интегрированием) элементарных потенциалов от зарядов и токов, сосредоточенных в бесконечно малых объёмах dx'dy'dz’, с учётом времени запаздывания: j (х, у, z, t) = , A (х, у, z, t) = ,

  Через Потенциалы электромагнитного поля выражается функция Гамильтона Н заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле: ,     (6)

где p — импульс частицы, e и m — ее заряд и масса. Соответственно через Потенциалы электромагнитного поля выражается оператор Гамильтона (гамильтониан) в квантовой механике.

 

  Лит. см. при ст. Максвелла уравнения.

  Г. Я. Мякишев.