Нормальное распределение

Большая Советская Энциклопедия. Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии, очерки, аннотации, описания.


А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 1 2 3 4 8 A L M P S T X
НА НГ НД НЕ НЁ НЗ НИ НК НО НР НС НУ НЧ НЫ НЬ НЭ НЮ НЯ
НОА
НОБ
НОВ
НОГ
НОД
НОЕ
НОЖ
НОЗ
НОИ
НОЙ
НОК
НОЛ
НОМ
НОН
НОО
НОП
НОР
НОС
НОТ
НОУ
НОЧ
НОЯ

Нормальное распределение, одно из важнейших распределений вероятностей. Термин «Нормальное распределение» применяют как по отношению к распределениям вероятностей случайных величин, так и по отношению к совместным распределениям вероятностей нескольких случайных величин (т. е. к распредслениям случайных векторов).

Кривые плотности нормального распределения для различных значений параметров а и <span style='font-family:Symbol;layout-grid-mode:line'>s</span>: I. а = 0, <span style='font-family:Symbol;layout-grid-mode:line'>s</span> = 2,5; II. a = 0, <span style='font-family:Symbol;layout-grid-mode:line'>s</span> = 1; III. a = 0, <span style='font-family:Symbol;layout-grid-mode:line'>s</span> = 0,4; IV. a = 3, <span style='font-family:Symbol;layout-grid-mode:line'>s</span> = 1. Нормальное распределение.

Кривые плотности нормального распределения для различных значений параметров а и s: I. а = 0, s = 2,5; II. a = 0, s = 1; III. a = 0, s = 0,4; IV. a = 3, s = 1.

  Распределение вероятностей случайной величины Х называется нормальным, если оно имеет плотность вероятности

  . (*)

  Семейство Нормальное распределение (*) зависит, т. о., от двух параметров а и s. При этом математическое ожидание Х равно а, дисперсия Х равна s2. Кривая Нормальное распределение у = р (х; а, s) симметрична относительно ординаты, проходящей через точку х = а, и имеет в этой точке единственный максимум, равный . С уменьшением s кривая Нормальное распределение становится всё более и более островершинной (см. рис.). Изменение а при постоянном s не меняет форму кривой, а вызывает лишь её смещение по оси абсцисс. Площадь, заключённая под кривой Нормальное распределение, всегда равна единице. При a = 0, s = 1 соответствуюшая функция распределения равна

  .

  В общем случае функция распределения Нормальное распределение (*) F (х; а, s) может быть вычислена по формуле F (x; а, s) = Ф (t), где t = (х — а)/s. Для функции Ф (t) (и нескольких её производных) составлены обширные таблицы. Для Нормальное распределение вероятность неравенства , равная 1— Ф (k)+ Ф (— k), убывает весьма быстро с ростом k (см. таблицу).

k

Вероятность

1

0,31731

2

0,04550

3

0,00269

4

0,00006

  Во многих практических вопросах при рассмотрении Нормальное распределение пренебрегают поэтому возможностью отклонений от а, превышающих 3s, — т. н. правило трёх сигма (соответствующая вероятность, как видно из таблицы, меньше 0,003). Вероятное отклонение для Нормальное распределение равно 0,67449s.

  Нормальное распределение встречается в большом числе приложений. Издавна известны попытки объяснения этого обстоятельства. Теоретическое обоснование исключительной роли Нормальное распределение дают предельные теоремы теории вероятностей (см. также Лапласа теорема, Ляпунова теорема). Качественно соответствующий результат может быть объяснён следующим образом: Нормальное распределение служит хорошим приближением каждый раз, когда рассматриваемая случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, максимальная из которых мала по сравнению со всей суммой.

  Нормальное распределение может появляться также как точное решение некоторых задач (в рамках принятой математической модели явления). Так обстоит дело в теории случайных процессов (в одной из основных моделей броуновского движения). Классические примеры возникновения Нормальное распределение как точного принадлежат К. Гауссу (закон распределения ошибок наблюдения) и Дж. Максвеллу (закон распределения скоростей молекул).

  Совместное распределение нескольких случайных величин X1, X2,..., Xs называется нормальным (многомерным нормальным), если соответствующая плотность вероятности имеет вид:

  , где ,

  qk, l = ql, k — положительно определенная квадратичная форма. Постоянная С определяется из того условия, что интеграл от р по всему пространству равен 1. Параметры a1,..., as равны математическим ожиданиям X1,..., Xs соответственно, а коэффициент qk, l могут быть выражены через дисперсии s12,..., ss2 этих величин и коэффициент корреляцииsk, lмежду Xk и Xl. Общее количество параметров, задающих Нормальное распределение, равно

  (s + 1)(s + 2)/2 1

  и быстро растет с ростом s (оно равно 2 при s = 1, 20 при s = 5 и 65 при s = 10). Многомерное Нормальное распределение служит основной моделью статистического анализа многомерного. Оно используется также в теории случайных процессов (где рассматривают также Нормальное распределение в бесконечномерных пространствах).

  О вопросах, связанных с оценкой параметров Нормальное распределение по результатам наблюдений, см. статьи Малые выборки и Несмещенная оценка. О проверке гипотезы нормальности см. Непараметрические методы (в математической статистике).

 

  Лит. см. при ст. Распределения.

  Ю. В. Прохоров.

 

Так же Вы можете узнать о...


Бурцов-Протопопов Василий Федорович (гг. рождения и смерти неизвестен), русский печатник-издатель.
Версия (видоизменение) Версия (от позднелат. versio — видоизменение, поворот),
Волоконная оптика, раздел оптики, в котором рассматривается передача света и изображения по светопроводам и волноводам оптического диапазона, в частности по многожильным световодам и пучкам гибких волокон.
Ганнон (Hanno). В Карфагене: 1) Г. Мореплаватель, флотоводец 7—6 вв.
Гиперплазия (от гипер... и греч. plasis — создание, образование), увеличение числа структурных элементов тканей и органов.
Греко Эмилио Греко (Greco) Эмилио (р.11.10.1913, Катания, Сицилия), итальянский скульптор.
Деккер Эдуард Дауэс Деккер (Dekker) Эдуард Дауэс (1820—1887), настоящая фамилия и имя нидерландского писателя, известного под псевдонимом Мультатули.
Добровольский Анатолий Владимирович [р. 6(19).
Жасмин (французское jasmin, от перс. ясемин), два рода декоративных растений.
Зимовка животных, способы переживания неблагоприятного зимнего периода животными умеренных и холодных поясов.