2. Равномерная топология

Часть Топология, изучающая аксиоматическое понятие равномерной непрерывности, называется равномерной Топология Известное из анализа определение равномерной непрерывности числовых функций непосредственно переносится на отображения любых метрических пространств. Поэтому аксиоматику равномерной непрерывности обычно получают, отталкиваясь от метрических пространств. Подробно исследованы два аксиоматических подхода к равномерной непрерывности, основанных соответственно на понятиях близости и окружения диагонали.

  Подмножества А и В метрических пространства Х называются близкими (обозначение AdB), если для любого e > 0 существуют точки aÎА и bÎ В, расстояние между которыми < e. Принимая основные свойства этого отношения за аксиомы, приходят к следующему определению: (отделимой) структурой близости на множестве Х называется такое отношение d на множестве всех его подмножеств, что: 1) ÆX (символом обозначается отрицание отношения d; 2) AB₁ и AB₂Û A(B₁ U B₂ );  3) {x}{y} Ûx¹y;  4) если АВ, то существует такое множество С В, что А(Х  \С). Множество, в котором задана структура близости, называется пространством близости. Отображение пространства близости Х в пространство близости Y называется близостно непрерывным, если образы близких в Х множеств близки в Y. Пространства близости Х и Y называются близостно гомеоморфными (или эквиморфными), если существует взаимно однозначное близостно непрерывное отображение X®Y, обратное к которому также является близостно непрерывным (такое близостно непрерывное отображение называется эквиморфизмом). В равномерной Топология эквиморфные пространства близости рассматриваются как одинаковые. Подобно метрическим пространствам, любое пространство близости можно превратить в (хаусдорфово) топологическое пространство, считая подмножество uÌx открытым, если {x}(X \U) для любой точки хÎU. При этом близостно непрерывные отображения окажутся непрерывными отображениями. Класс топологических пространств, получающихся описанным образом из пространств близости, совпадает с классом вполне регулярных топологических пространств. Для любого вполне регулярного пространства Х все структуры близости на X, порождающие его топологическую структуру, находятся во взаимно однозначном соответствии с так называемыми компактификациями (в другой терминологии — би-компактными расширениями) вХ — компактными хаусдорфовыми топологическими пространствами, содержащими Х в качестве всюду плотного пространства. Структура близости d, соответствующая расширению вХ, характеризуется тем, что АdВ тогда и только тогда, когда замыкания множеств А и В пересекаются в bX. В частности, на любом компактном хаусдорфовом топологическом пространстве Х существует единственная структура близости, порождающая его топологическую структуру.

  Другой подход основан на том, что равномерную непрерывность в метрическом пространстве Х можно определить в терминах отношения «точки х и у находятся на расстоянии, не большем e». С общей точки зрения, отношение на Х есть не что иное как произвольное подмножество U прямого произведения Х´X. Отношение «тождество» является с этой точки зрения диагональю DÌХ´X, то есть множеством точек вида (х, х), хÎX. Для любого отношения U определено обратное отношение U^—1 = {(х, у); (у, х) ÎU } и для любых двух отношений U и V определена их композиция U×V = {(х, у); существует zÎХ такое, что (х, z) ÎU, (z, y) ÎV }. Семейство отношений {U } называется (отделимой) равномерной структурой на Х (а отношения U называется окружениями диагонали), если: 1) пересечение любых двух окружений диагонали содержит окружение диагонали; 2) каждое окружение диагонали содержит D, и пересечение всех окружений диагонали совпадает с D; 3) вместе с U окружением диагонали является и U^—1; 4) для любого окружения диагонали U существует такое окружение диагонали W, что W o WÌU. Множество, наделённое равномерной структурой, называется равномерным пространством. Отображение f : X®Y равномерного пространства Х в равномерное пространство Y называется равномерно непрерывным, если прообраз при отображении f´f : Х´Х®Y´Y любого окружения диагонали VÌY´Y содержит некоторое окружение диагонали из Х´X. Равномерные пространства Х и Y называются равномерно гомеоморфными, если существует взаимно однозначное равномерно непрерывное отображение Х®Y, обратное к которому также является равномерно непрерывным отображением.

  В равномерной Топология такие равномерные пространства считаются одинаковыми. Каждая равномерная структура на Х определяет некоторую структуру близости: АdВ тогда и только тогда, когда (A´В ) Ç U¹Æ для любого окружения диагонали UÌX´X. При этом равномерно непрерывные отображения оказываются близостно непрерывными.

Топология (от греч. tоpos — место и ¼логия) — часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела). Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных подходов к её изучению привели к распадению единой Т. на ряд отделов («общая Т.», «алгебраическая Т.» и др.), отличающихся друг от друга по предмету и методу изучения и фактически весьма мало между собой связанных.

I. Общая топология
2. Равномерная топология
3. Алгебраическая топология
4. Кусочно-линейная топология
5. Топология многообразий
6. Основные этапы развития топологии