I. Общая топология

Часть Топология, ориентированная на аксиоматическое изучение непрерывности, называется общей Топология Наряду с алгеброй общая Топология составляет основу современного теоретико-множественного метода в математике.

  Аксиоматически непрерывность можно определить многими (вообще говоря, неравносильными) способами. Общепринята аксиоматика, основывающаяся на понятии открытого множества. Топологической структурой, или топологией, на множестве Х называют такое семейство его подмножеств, называемых открытыми множествами, что: 1) пустое множество Æ и всё Х открыты; 2) объединение любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств открыто. Множество, на котором задана топологическая структура, называют топологическим пространством. В топологическом пространстве Х можно определить все основные понятия элементарного анализа, связанные с непрерывностью. Например, окрестностью точки x Î X называют произвольное открытое множество, содержащее эту точку; множество A Ì X называют замкнутым, если его дополнение Х \ А открыто; замыканием множества А называют наименьшее замкнутое множество, содержащее A; если это замыкание совпадает с X, то А называют всюду плотным в Х и т.д.

  По определению, Æ и Х являются одновременно замкнутыми и открытыми множествами. Если в Х нет других множеств, одновременно замкнутых и открытых, то топологическое пространство Х называют связным. Наглядно связное пространство состоит из одного «куска», а несвязное — из нескольких.

  Любое подмножество А топологического пространства Х обладает естественной топологической структурой, состоящей из пересечений с А открытых множеств из X. Снабженное этой структурой А называют подпространством пространства X. Каждое метрическое пространство становится топологическим, если за его открытые множества принять множества, содержащие вместе с произвольной точкой некоторую её e-окрестность (шар радиуса e с центром в этой точке). В частности, любое подмножество n-мерного евклидова пространства  является топологическим пространством. Теория таких пространств (под названием «геометрической Топология») и теория метрических пространств включаются по традиции в общую Топология

  Геометрическая Топология довольно четко распадается на две части: изучение подмножеств  произвольной сложности, подчинённых тем или иным ограничениям общего характера (примером является так называемая теория континуумов, то есть связных ограниченных замкнутых множеств), и изучение способов, какими в  могут быть вложены такие простые топологические пространства, как сфера, шар и т.п. (вложения в , например, сфер могут быть очень сложно устроенными).

  Открытым покрытием топологического пространства Х называют семейство его открытых множеств, объединением которого является всё X. Топологическое пространство Х называют компактным (в другой терминологии —бикомпактным), если любое его открытое покрытие содержит конечное число элементов, также образующих покрытие. Классическая теорема Гейне — Бореля утверждает, что любое ограниченное замкнутое подмножество  компактно. Оказывается, что все основные теоремы элементарного анализа об ограниченных замкнутых множествах (например, теорема Вейерштрасса о том, что на таком множестве непрерывная функция достигает своего наибольшего значения) справедливы для любых компактных топологических пространств. Это определяет фундаментальную роль, которую играют компактные пространства в современной математике (особенно в связи с теоремами существования). Выделение класса компактных топологических пространств явилось одним из крупнейших достижений обшей Топология, имеющих общематематическое значение.

  Открытое покрытие {V_b} называют вписанным в покрытие {U_a}, если для любого b существует a такое, что V_bÌU_a. Покрытие {V_b} называют локально конечным, если каждая точка хÎХ обладает окрестностью, пересекающейся только с конечным числом элементов этого покрытия. Топологическое пространство называют паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие. Класс паракомпактных пространств является примером классов топологических пространств, получающихся наложением так называемых условий типа компактности. Этот класс очень широк, в частности он содержит все метризуемые топологические пространства, то есть пространства X, в которых можно ввести такую метрику r, что Топология, порожденная r в X, совпадает с Топология, заданной в X.

  Кратностью открытого покрытия называют наибольшее число k такое, что найдётся k его элементов, имеющих непустое пересечение. Наименьшее число n, обладающее тем свойством, что в любое конечное открытое покрытие топологического пространства Х можно вписать открытое покрытие кратности £n + 1, обозначается символом dimХ и называется размерностью X. Это название оправдано тем, что в элементарно-геометрических ситуациях dimХ совпадает с обычно понимаемой размерностью, например dim=n. Возможны и др. числовые функции топологического пространства X, отличающиеся от dimX, но в простейших случаях совпадающие с dimX. Их изучение составляет предмет общей теории размерности — наиболее геометрически ориентированной части общей Топология Только в рамках этой теории удаётся, например, дать чёткое и достаточно общее определение интуитивного понятия геометрической фигуры и, в частности, понятия линии, поверхности и т.п.

  Важные классы топологических пространств получаются наложением так называемых аксиом отделимости. Примером является так называемая аксиома Хаусдорфа, или аксиома T₂, требующая, чтобы любые две различные точки обладали непересекающимися окрестностями. Топологическое пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, называется хаусдорфовым, или отделимым. Некоторое время в математической практике встречались почти исключительно хаусдорфовы пространства (например, любое метрическое пространство хаусдорфово). Однако роль нехаусдорфовых топологических пространств в анализе и геометрии постоянно растет.

  Топологические пространства, являющиеся подпространствами хаусдорфовых (би) компактных пространств, называются вполне регулярными или тихоновскими. Их тоже можно охарактеризовать некоторой аксиомой отделимости, а именно: аксиомой, требующей, чтобы для любой точки x₀ Х и любого не содержащего её замкнутого множества F  Х существовала непрерывная функция g : Х ® [0, 1], равная нулю в x₀ и единице на F.

  Топологические пространства, являющиеся открытыми подпространствами хаусдорфовых компактных, называются локально компактными пространствами. Они характеризуются (в классе хаусдорфовых пространств) тем, что каждая их точка обладает окрестностью с компактным замыканием (пример: евклидово пространство). Любое такое пространство дополняется одной точкой до компактного (пример: присоединением одной точки из плоскости получается сфера комплексного переменного, а из  — сфера S ⁿ).

  Отображение f : X ® Y топологическое пространства Х в топологическое пространство Y называют непрерывным отображением, если для любого открытого множества VÌY множество f^—1(V) открыто в X. Непрерывное отображение называют гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и обратное отображение f^—1: Y ® X непрерывно. Такое отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между открытыми множествами топологических пространств Х и Y, перестановочное с операциями объединения и пересечения множеств. Поэтому все топологические свойства (то есть свойства, формулируемые в терминах открытых множеств) этих пространств одни и те же, и с топологической точки зрения гомеоморфные топологические пространства (то есть пространства, для которых существует хотя бы один гомеоморфизм Х ®Y) следует считать одинаковыми (подобно тому как в евклидовой геометрии одинаковыми считаются фигуры, которые можно совместить движением). Например, гомеоморфны («топологически одинаковы») окружность и граница квадрата, шестиугольника и т.п. Вообще любые две простые (не имеющие двойных точек) замкнутые линии гомеоморфны. Напротив, окружность не гомеоморфна прямой (ибо удаление точки не нарушает связности окружности, но нарушает связность прямой; по той же причине прямая не гомеоморфна плоскости, а окружность не гомеоморфна «восьмёрке»). Окружность не гомеоморфна также и плоскости (выкиньте не одну, а две точки).

  Пусть {Х_a} — произвольное семейство топологических пространств. Рассмотрим множество Х всех семейств вида {х_a}, где x_a X_a (прямое произведение множеств X_a). Для любого a формула определяет некоторое отображение  (называется проекцией). Вообще говоря, в Х можно ввести много топологических структур, относительно которых все отображения p_a непрерывны. Среди этих структур существует наименьшая (то есть содержащаяся в любой такой структуре). Снабженное этой топологической структурой множество Х называется топологическим произведением топологических пространств Х_a и обозначается символом ПХ_a (а в случае конечного числа сомножителей — символом X₁´ ... ´X_n). В явном виде открытые множества пространства Х можно описать как объединения конечных пересечений всех множеств вида , где U_a открыто в X_a. Топологическое пространство Х обладает следующим замечательным свойством универсальности, однозначно (с точностью до гомеоморфизма) его характеризующим: для любого семейства непрерывных отображений f_a : Y®X_a существует единственное непрерывное отображение f : Y®X, для которого   при всех a. Пространство  является топологическим произведением n экземпляров числовой прямой. Одной из важнейших теорем общей Топология является утверждение о том, что топологическое произведение компактных топологических пространств компактно.

  Если Х — топологическое пространство, а Y — произвольное множество и если задано отображение p : X®Y пространства Х на множество Y (например, если Y является фактормножеством Х по некоторому отношению эквивалентности, а p представляет собой естественную проекцию, сопоставляющую с каждым элементом хÎ Х его класс эквивалентности), то можно ставить вопрос о введении в Y топологической структуры, относительно которой отображение p непрерывно. Наиболее «богатую» (открытыми множествами) такую структуру получают, полагая открытыми множествами в Y все те множества VÌY, для которых множество f^‑1(V) ÌХ открыто в X. Снабженное этой топологической структурой множество Y называется факторпространством топологического пространства Х (по отношению к p ). Оно обладает тем свойством, что произвольное отображение f : Y®Z тогда и только тогда непрерывно, когда непрерывно отображение  : X®Z. Непрерывное отображение p : X®Y называется факторным, если топологическое пространство Y является по отношению к p факторпространством топологического пространства X. Непрерывное отображение p : X®Y называется открытым, если для любого открытого множества UÌХ множество p(U) открыто в Y, и замкнутым, если для любого замкнутого множества FÌХ множество p(F) замкнуто в Y. Как открытые, так и замкнутые непрерывные отображения f : Х®Y, для которых f(X) = Y, являются факторными.

  Пусть Х — топологическое пространство, А — его подпространство и f : A®Y — непрерывное отображение. Предполагая топологические пространства Х и Y непересекающимися, введём в их объединении ХÈY топологическую структуру, считая открытыми множествами объединения открытых множеств из Х и Y. Далее, введём в пространстве ХÈY наименьшее отношение эквивалентности, в котором a ~ f(a) для любой точки aÎ А. Соответствующее факторпространство обозначается символом XÈ_fY, и о нём говорят, что оно получено приклеиванием топологического пространства Х к топологическому пространству Y по А посредством непрерывного отображения f. Эта простая и наглядная операция оказывается очень важной, так как позволяет получать из сравнительно простых топологических пространств более сложные. Если Y состоит из одной точки, то пространство ХÈ_fY обозначается символом Х/А и о нём говорят, что оно получено из Х стягиванием А в точку. Например, если Х — диск, а А — его граничная окружность, то Х/А гомеоморфно сфере.

Топология (от греч. tоpos — место и ¼логия) — часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела). Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных подходов к её изучению привели к распадению единой Т. на ряд отделов («общая Т.», «алгебраическая Т.» и др.), отличающихся друг от друга по предмету и методу изучения и фактически весьма мало между собой связанных.

I. Общая топология
2. Равномерная топология
3. Алгебраическая топология
4. Кусочно-линейная топология
5. Топология многообразий
6. Основные этапы развития топологии